Учитывая пожелания читателей, авторы переработали многие разделы курса, и в первую очередь материалы глав X (кратные интегралы) и XIV (ряды Фурье). <...> Вещественные числа В этом случае квадратный трехчлен у = ах2 + Ъх + с имеет действительные корни х\ и Х2 (xi = Х2 при D — 0) и поэтому обращается в нуль при х — х\ и х — Х2, что противоречит А. <...> Пусть заданы числовое множество X и число М. <...> Вещественные числа это число называют разностью чисел а и Ь и обозначают а — Ъ; в частности, разность 0 — Ь обозначают —Ъ; б) если Ьф 0, то существует единственное число г такое, что bz = а; это число называют частным чисел а и Ь и обозначают а/Ь. <...> Показать, что числа а и Ь, заданные равенствами (5) и (6), являются иррациональными. в) а п = а0,оц.ап + Десятичные приближения вещественных чисел. <...> Если а — отрицательное вещественное число вида (4), то для него п-е десятичные приближения с избытком и недостатком определяются соответственно равенствами _ а п = - а 0,аi - .an, а п = - а 0,аi.a„ - — . <...> Если числовое множество ограничено как сверху, так и снизу, его называют ограниченным, т. е. {X — ограниченное множество} <£> ^ {ЗС' е R ЗС е R: Уж G х -> С' ^ ж <С С}. <...> Записать ],4 с помощью кванторов, если А = {С — верхняя грань множества X С R}. <...> Записать с помощью кванторов отрицания следующих утверждений: а) А = {множество X С R ограничено сверху}; б) В = {С — нижняя грань множества X }; в) D = {множество X является ограниченным}. <...> Пусть числовое множество X ограничено сверху, тогда выполняется условие (1), а число С является верхней гранью множества X. <...> Таким образом, ограниченное сверху числовое множество имеет бесконечно много верхних граней, среди которых особую роль играет наименьшая. <...> Речь идет о числе М , обладающем следующими свойствами: а) М — верхняя грань множества X; б) любое число М' меньшее М, не является верхней гранью множества <...>
Курс_математического_анализа.pdf
ББКУДК 517 (075.8)
22.161
T35
доктор физико-математических наук, профессор
В. Ф. Бутузов
заведующий кафедрой математики
физического факультета МГУ
Р е ц е н з е н т:
Тер-Крикоров А. М.
T35 Курс математического анализа : учебное пособие для вузов
/ А. М. Тер-Крикоров, М. И. Шабунин. — 8-е изд., электрон.
—М. : Лаборатория знаний, 2020. — 675 с. — Систем. требования:
Adobe Reader XI ; экран 10".— Загл. с титул. экрана.
—Текст : электронный.
ISBN 978-5-00101-702-8
В пособии изложение теоретического материала иллюстрируется
типовыми примерами. Большое внимание уделено трудным
разделам курса математического анализа (равномерная сходимость
функциональных рядов и интегралов, зависящих от параметра,
равномерная непрерывность функций и т. д.).
Для студентов физико-математических и инженерно-физических
специальностей вузов с углубленной подготовкой по математике.
Может быть использовано при самостоятельном изучении курса.
ББКУДК 517 (075.8)
22.161
Деривативное издание на основе печатного аналога: Курс
математического анализа : учебное пособие для вузов / А. М. ТерКрикоров,
М. И. Шабунин. — 7-е изд. —М. : Лаборатория знаний,
2017. — 672 с. : ил. —ISBN 978-5-00101-039-5.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении
ограничений, установленных техническими средствами защиты
авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя
возмещения убытков или выплаты компенсации
ISBN 978-5-00101-702-8
○c Лаборатория знаний, 2015
Стр.3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к треть ем у и з д а н и ю ............................................................................
3
Г Л А В А I. ВЕЩ ЕСТВЕННЫ Е Ч И С Л А ............................................................ 5
§ 1. Рациональные числа. Бесконечные десятичные д р о б и
5
§ 2. Точные грани числовых м н ож е с т в ........................................................ 15
§ 3. Операции над вещественными числами .............................................. 20
Г Л А В А II. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ .................................... 35
§ 4. Определение предела последовательности. Свойства сходящихся
последовательностей ................................................................................ 35
§ 5. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
Арифметические операции над сходящимися последовательностями
.................................................................................................................... 45
§ 6. Предел монотонной п о сл ед ов ат ел ьн о сти .......................................... 50
§ 7. Подпоследовательности. Частичные п р е д е лы ................................ 55
§ 8. Критерий Коши сходимости п о сл ед ов ат ел ьн о сти ...................... 57
Г Л А В А II I . ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫ ВНОСТЬ ФУНКЦИИ ............... 61
§ 9. Числовые функции ......................................................................................... 61
§ 10. Предел ф у н к ц и и ................................................................................................ 73
§ 11. Непрерывность функции ............................................................................ 86
§ 12. Непрерывность элементарных функций .......................................... 96
§ 13. Вычисление пределов ф у н к ц и й .............................................................. 110
Г Л А В А IV. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ .......................... 123
§ 14. Производная и диф ф ер ен ци ал .................................................................. 123
§ 15. Правила дифференцирования .................................................................. 133
§ 16. Производные и дифференциалы высших п о р я д к о в ................... 143
§ 17. Основные теоремы для дифференцируемых ф у н к ц и й
150
§ 18. Формула Тейлора ............................................................................................ 158
§ 19. Правило Л оп и т а л я ............................................................................................ 172
§ 20. Исследование функций с помощью производных ...................... 176
§ 21. В ек т о р -ф ун к ц и и ................................................................................................ 194
§ 22. К р и в ы е ................................................................................................................... 200
Стр.671
Оглавление
671
Г Л А В А V. ФУНКЦИИ МНОГИХ П Е Р Е М Е Н Н Ы Х .................................. 222
§ 23. Пространство Rn ................................................................................................ 222
§ 24. Предел функции многих п е р ем е н н ы х ................................................. 232
§ 25. Непрерывность функции многих п е р е м е н н ы х ............................. 237
§ 26. Дифференцируемость функции многих п ер ем ен ны х ................ 241
§ 27. Частные производные и дифференциалы высших порядков . 254
§ 28. Неявные ф у н к ц и и ............................................................................................ 259
§ 29. Замена п ер ем ен ны х ......................................................................................... 269
Г Л А В А VI. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ......................................... 275
§ 30. Определение и свойства неопределенного интеграла. Основные
методы ин т егриров ания ...................................................................... 275
§ 31. Комплексные ч и с л а .......................................................................................... 284
§ 32. Разложение рациональной функции на простые д р о б и
295
§ 33. Интегрирование рациональных, иррациональных, тригонометрических
и гиперболических ф у н к ц и й ............................................... 302
Г Л А В А VII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ .................................................... 316
§ 34. Определение и условия существования определенного интеграла
........................................................................................................................... 316
§ 35. Свойства определенного ин т егр ала ......................................................... 326
§ 36. Интеграл с переменным верхним пределом. Вычисление определенных
ин т е гр а л о в ...................................................................................... 334
§ 37. Приложения определенного интеграла .................................................. 343
§ 38. Несобственные интегралы ......................................................................... 358
Г Л А В А VIII. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ............................................................................ 383
§ 39. Определение и свойства сходящихся р я д о в ..................................... 383
§ 40. Ряды с неотрицательными ч л е н а м и ..................................................... 388
§ 41. Абсолютно и условно сходящиеся р я ды ............................................... 395
Г Л А В А IX. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ ........................................................408
§ 42. Равномерная сходимость функциональных последовательностей
и рядов .......................................................................................................... 408
§ 43. Степенные р я д ы ................................................................................................ 425
§ 44. Ряд Т е й л о р а .......................................................................................................... 434
Г Л А В А X. КРАТНЫЕ И Н Т Е Г Р А Л Ы ..................................................................... 446
§ 45. Мера Жордана в Rn .......................................................................................... 446
§ 46. Определение и свойства кратного интеграла Р им ан а ................. 452
§ 47. Сведение кратных интегралов к повторным ................................. 460
§ 48. Формула замены переменных в кратном интеграле ................. 470
§ 49. Несобственные кратные и н т е г р а л ы ..................................................... 486
Стр.672
672
Оглавление
Г Л А В А XI . КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГ
РАЛЫ ...................................................................................................................................... 491
§ 50. Криволинейные и н т е г р а лы ......................................................................... 491
§ 51. Формула Грина на плоскости ...................................................................... 500
§ 52. П ов ер хн о сти .......................................................................................................... 510
§ 53. Площадь поверхн ости ...................................................................................... 522
§ 54. Поверхностные интегралы ......................................................................... 527
Г Л А В А X II. ТЕОРИЯ П О Л Я ...................................................................................... 536
§ 55. Скалярные и векторные поля ................................................................... 536
§ 56. Формула О стр о гр а д ск о го -Г а у с са ............................................................ 542
§ 57. Формула Стокса ................................................................................................ 547
Г Л А В А X III . ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕН
НЫ Х .................................................................................................................................. 554
§ 58. Формула Тейлора для функций многих п ер ем ен ны х ................... 554
§ 59. Экстремумы функций многих п е р ем е н ны х ..................................... 557
§ 60. Условный э к с т р е м у м ..................................................................................... 562
Г Л А В А XIV . РЯДЫ ФУРЬЕ......................................................................................... 572
§ 61. Ортогональные системы функций. Ряды Фурье по ортогональным
си с т ем ам ....................................................................................................... 572
§ 62. Лемма Римана .................................................................................................... 576
§ 63. Формула для частичных сумм тригонометрического ряда
Ф у р ь е ........................................................................................................................ 578
§ 64. Сходимость ряда Фурье в точке ............................................................ 581
§ 65. Почленное дифференцирование и интегрирование ряда Фурье 589
§ 66. Равномерная сходимость ряда Ф у р ь е .................................................. 592
§ 67. Комплекснозначные функции. Ряд Фурье в комплексной
ф о р м е ........................................................................................................................ 594
§ 68. Суммирование ряда Фурье методом средних арифметических
........................................................................................................................ 596
§ 69. Теоремы Вейерштрасса о равномерных приближениях непрерывных
функций многочленами ............................................................ 598
§ 70. Сходимость ряда Фурье в смысле среднего квадратичного . . 601
Г Л А В А XV. ИНТЕГРАЛЫ , ЗАВИСЯЩ ИЕ ОТ ПАРАМЕТРА . . . 616
§ 71. Собственные интегралы, зависящие от параметра .................... 616
§ 72. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная
сходимость несобственного интеграла по параметру 618
§ 73. Эйлеровы и н т е г р а лы ...................................................................................... 634
§ 74. Интеграл Фурье ................................................................................................ 639
§ 75. Преобразование Ф у р ь е ................................................................................... 645
§ 76. Элементы теории обобщенных ф у н к ц и й ........................................... 649
§ 77. Асимптотические оценки и н т е г р а л о в .................................................. 657
Список л и т е р а т у ры .............................................................................................................. 664
Предметный ук а з а т ел ь ....................................................................................................... 665
Стр.673