Приводятся доказательство теоремы Ковалевской, смешанная задача для уравнения колебаний неоднородной струны, задача Коши для волнового уравнения и теория симметрических гиперболических систем. <...> Задача Дирихле с однородными граничными условиями 136 3.13.3. <...> Задача Дирихле с неоднородными граничными условиями . <...> Принцип максимума в ограниченной и неограниченной областях . <...> В результате написанный О. А. Олейник учебник дополнился частью, посвященной доказательству теоремы С. В. Ковалевской, смешанной задаче для уравнения колебаний неоднородной струны, задаче Коши для волнового уравнения и теории симметрических гиперболических систем. <...> Интеграл Лебега, функциональные пространства и обобщенные функции используются лишь в отдельных теоремах, которые при первом чтении могут быть опущены читателями. <...> Открытое связное множество пространства Rn Если множество точек A ⊂ Rn x, то через A обозначим замыкание x будем называть областью и обозначать через Ω. <...> Расстоянием между множествами A и B из пространства Rn x назовем infx,y |x−y|,где x ∈ A, y ∈ B. <...> Вспомогательные предложения сле этого знака указаны условия на координаты точки, определяющие принадлежность ее множеству A. <...> Далее, Sx0 Функция f(x), определенная в точках x множества A, принадлежит В главе 4 мы будем рассматривать евклидово пространство Rn+1 x,t ∈ R1 x,y обозначим (m+k)-мерное пространство {x, y ; x ∈ Rn x,B ⊂ Rk y.Тогда AЧB = {x, y ; x ∈ A, y ∈ B}. <...> Некоторые предложения из анализа 13 в области Ω, называется локально суммируемой в Ω, если для любой области Ω1 такой, что Ω1 ⊂ Ω, имеем |u(x)|dx <∞. <...> 1 ли для любой точки x0 ∈ ∂Ω существуют целое число l, 1 l n,и окрестность Qx0 гиперповерхности Будем говорить, что область Ω принадлежит классу Ak, k 1, есρ , ρ =const > 0, такие, что точки ∂Ω ∩ Qx0 ρ лежат на xl = fl(x1,. ,xl−1,xl+1,. ,xn), причем fl ∈ Ck(gl),где gl —область изменения аргументов функции fl. <...> Будем говорить, что область Ω принадлежит классу Bk, k 1, если существует <...>
Лекции_об_уравнениях_с частными_производными.pdf
О. А. Олейник
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
6-е издание, электронное
ЛЕКЦИИ ОБ УРАВНЕНИЯХ
Лаборатория знаний
2020
Москва
Стр.4
ББКУДК 517
22.161.1
O53
Московского государственного университета
имени М. В. Ломоносова
по решению Ученого совета
Печатается
Олейник О. А.
O53 Лекции об уравнениях с частными производными /
О. А. Олейник.— 6-е изд., электрон. —М. : Лаборатория
знаний, 2020. — 260 с. : ил. — (Классический университетский
учебник). — Систем. требования: Adobe Reader XI ;
экран 10".— Загл. с титул. экрана. —Текст : электронный.
ISBN 978-5-00101-703-5
В книге излагаются основные факты, относящиеся к уравнению
Лапласа, уравнению теплопроводности и волновому уравнению
как простейшим представителям трех основных классов уравнений
с частными производными. Приводятся доказательство теоремы
Ковалевской, смешанная задача для уравнения колебаний неоднородной
струны, задача Коши для волнового уравнения и теория
симметрических гиперболических систем. Первая глава содержит
изложение некоторых сведений из анализа и теории обобщенных
функций.
Для студентов университетов и других вузов, изучающих уравнения
с частными производными.
ББКУДК 517
22.161.1
Деривативное издание на основе печатного аналога: Лекции
об уравнениях с частными производными / О. А. Олейник.—
3-е изд., испр. —М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. —
260 с. : ил. — (Классический университетский учебник). —
ISBN 978-5-94774-623-5.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных техническими средствами защиты авторских прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации
ISBN 978-5-00101-703-5
○c Лаборатория знаний, 2015
○c МГУ им. М. В. Ломоносова,
художественное оформление, 2003
Стр.5
Оглавление
Предисловие ко второму изданию . .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. ..
Из предисловия к первому изданию . .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. ..
Глава 1. Вспомогательные предложения . .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. ..
1.1. Обозначения. Некоторые предложения из анализа . . . . . . . . . . .
1.1.1. Неравенство Гёльдера .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. ..
1.1.2. Неравенство Фридрихса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. Оценка производной неотрицательной функции. . . . . . . .
1.2. Средние функции. Обобщенные производные. . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Основные понятия и теоремы теории обобщенных функций . .
9
10
11
11
14
16
16
17
24
1.3.1. Пространство обобщенных функций D(Ω) .. .. .. .. .. .. 24
1.3.2. Прямое произведение обобщенных функций . . . . . . . . . . . 27
1.3.3. Свертка обобщенных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.4. Пространство обобщенных функций S(Rn
Глава 2. Классификация уравнений с частными производными .. .
2.1. Некоторые физические задачи, приводящие к уравнениям с
частными производными .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .
2.2. Задача Коши. Характеристики. Классификация уравнений. . .
Глава 3. Уравнение Лапласа.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .
3.1. Гармонические функции. Уравнение Пуассона. Формулы
Грина. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Фундаментальное решение.. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. ..
3.3. Представление решений с помощью потенциалов . . . . . . . . . . . .
3.4. Основные краевые задачи .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. ..
3.5. Теоремы о среднем арифметическом. Принцип максимума . . .
3.6. Функция Грина.
Решение задачи Дирихле для шара. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x).. .. .. .. .. .. 34
1.3.5. Обобщенные решения дифференциальных уравнений . . 41
1.3.6. Пространство Hk(Ω) . .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. 41
43
43
52
67
67
70
72
74
76
82
89
96
3.7. Единственность и непрерывная зависимость решений краевых
задач от граничных условий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8. Априорные оценки производных. Аналитичность . . . . . . . . . . . .
3.9. Теоремы Лиувилля и Фрагмена—Линделёфа . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.10. Изолированные особенности гармонических функций. Поведение
в окрестности бесконечности. Задача Дирихле в неограниченной
области .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. 111
3.11. О последовательностях гармонических функций. Обобщенное
решение уравнения Лапласа. Лемма Вейля. ... .. .. .. .. .. .. .. 119
3.12. Ньютонов потенциал. Гипоэллиптичность оператора Лапласа
3.13. Обобщенные решения задачи Дирихле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
126
3.13.1. След функций из ◦H1(Ω) .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. 133
3.13.2. Задача Дирихле с однородными граничными условиями 136
3.13.3.Вариационный метод . .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. 139
Стр.8
8
Оглавление
3.13.4. Задача Дирихле с неоднородными граничными условиями
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. 143
Глава 4. Уравнение теплопроводности . .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. 147
4.1. Формулы Грина. Фундаментальное решение. . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.2. Представление решений с помощью потенциалов. Бесконечная
дифференцируемость решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.3. Постановки краевых задач и задачи Коши . ... .. .. .. .. .. .. .. 156
4.4. Принцип максимума в ограниченной и неограниченной областях
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. 158
4.5. Априорные оценки решений краевых задач и задачи Коши.
Теоремы единственности. Стабилизация решений . . . . . . . . . . . . 165
4.6. Оценки производных. Аналитичность решений по переменным
x. Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.7. Теорема Лиувилля. Теоремы об устранимой особенности. Компактность
семейства решений . .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. 177
4.8. Решение задачи Коши с помощью преобразованияФурье. Гладкость
объемных тепловых потенциалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
4.9. Обобщенные решения. Гипоэллиптичность оператора теплопроводности
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. 194
Глава 5. Гиперболические уравнения и системы . ... .. .. .. .. .. .. .. 199
5.1. Волновое уравнение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5.1.1. Задача Коши. Энергетическое неравенство . . . . . . . . . . . . 199
5.1.2. Решение задачи Коши в случае n =3.Формула Кирхгофа
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. 203
5.1.3. Метод спуска. Решение задачи Коши в случае n =2.
Формула Пуассона .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . 206
5.1.4. Формула Даламбера для уравнения струны . . . . . . . . . . . 207
5.1.5. Качественное исследование формул Кирхгофа, Пуассона,
Даламбера. Распространение волн в пространствах
разной размерности .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. 209
5.1.6. Неоднородное уравнение. Принцип Дюамеля . . . . . . . . . . 213
5.2. Смешанная задача для уравнения колебаний струны . . . . . . . . 215
5.3. Задача Коши для гиперболических систем уравнений с частными
производными .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . 229
5.4. Теорема Коши . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. 229
5.5. Теорема Ковалевской и ее обобщения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
5.5.1. Доказательство теоремы Ковалевской. . . . . . . . . . . . . . . . . 234
5.5.2. Некоторые обобщения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
5.5.3. Пример несуществования аналитического решения. . . . . 238
5.6. Симметризуемые системы. Условие Годунова.. .. .. .. .. .. .. .. 239
5.7. Решение задачи Коши для симметричной системы. . . . . . . . . . . 241
5.7.1. Теорема единственности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
5.7.2. Теоремы вложения .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . 246
5.7.3. Априорная оценка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
5.7.4. Существование решения задачи Коши системы с постоянными
коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
5.7.5. Принцип Дюамеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
5.8. Обобщенное решение задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Литература .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . 259
Стр.9