. . , . , . 1 ОДНОМЕРНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Continuous Univariate Distributions Volume 1 Second Edition NORMAN L. JOHNSON University of North Carolina Chapel Hill, North Carolina SAMUEL KOTZ University of Maryland College Park, Maryland N. <...> BALAKRISHNAN McMaster University Hamilton, Ontario, Canada A Wiley-Interscience Publication JOHN WILEY & SONS, INC. <...> Мы очень благодарны следующим организациям: Institute of Mathematical Statistics, the American Statistical Association, the Biometrika Trustees, the Institute of Electrical and Electronic Engineerings, the Association for Computing Machinery, Marcel Dekker, Inc., the Australian Statistical Society, Gordon and Breach Science Publishers, Blackwell Publishers, а также редакторам журналов Biometrical Journal, Sankhy¯ использования ранее опубликованныхтаблиц и рисунков. <...> Следующий раздел посвящен общим сведениям о порядковых статистикахнепрерывных случайныхвеличин с особым акцентом на их использование в статистическом анализе. <...> При необходимости явно указать количество случайныхвеличин, для которыхопределяются соответствующие порядковые статистики, используются обозначения X1:n, X2:n,. ,Xn:n. события Xi = Xj имеют нулевую вероятность. <...> В работах [David (1981)] и [Arnold and Balakrishnan (1989)] подробно рассмотрены границы и приближенные выражения для моментов порядковыхстатистик. <...> Пусть распределение случайной величины X таково, что вероятность и Обозначим через Z1:n, Z2:n,. , Zn:n порядковые статистики, соответствующие набору случайныхвеличин Z1, Z2,. , Zn, распределение каждой из которых параметры сдвига и масштаба соответственно. <...> Этот метод и близкие к нему алгоритмы подробно рассмотрены в монографии [Balakrishnan and Cohen (1991)]. <...> Многие результаты, касающиеся характеризаций, в том числе на основе порядковыхстатистик, выписаны в работах [Galambos and Kotz (1978)] и [Arnold, Balakrishnan, and Nagaraja (1992)]. экстремальныхпорядковых статистик, а работы [Shorac and Wellner (1986)] и [Serfling (1980)] посвящены центральным порядковым статистикам, а также линейным функциям от порядковыхстатистик. <...> Распределением III типа является гамма-распределение, которому посвящена гл. <...> Оно основано на том, что для суммы <...>
Одномерные_непрерывные_распределения._В_2_ч._Ч._1.pdf
УДК 519.2
ББК 22.17
Д42
С е р и я о с н о в а н а в 2010 г.
Джонсон Н. Л.
Д42 Одномерные непрерывные распределения : в 2 ч. Ч. 1 /
Н. Л. Джонсон, С. Коц, Н. Балакришнан ; пер. 2-го англ. изд. —
5-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2023. — 706 с. —
(Теория вероятностных распределений). — Систем. требования:
Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст :
электронный.
ISBN 978-5-93208-654-4 (Ч. 1)
ISBN 978-5-93208-653-7
Приводятся необходимые общие сведения из теории непрерывных одномерных
распределений, описан ряд их важных общих классов. Подробно
излагаются свойства девяти семейств базовых распределений (нормального,
логнормального, Коши, Вейбулла, хи-квадрат, гамма-, обратного гауссовского,
Парето). Важно, что издание снабжено обширной библиографией,
таблицами и графиками, необходимыми для активной работы с соответствующими
семействами распределений.
УДК 519.2
ББК 22.17
Деривативное издание на основе печатного аналога: Одномерные непрерывные
распределения : в 2 ч. Ч. 1 / Н. Л. Джонсон, С. Коц, Н. Балакришнан ;
пер. 2-го англ. изд. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. — 703 с. : ил. —
(Теория вероятностных распределений). — ISBN 978-5-94774-469-9 (Ч. 1);
ISBN 978-5-94774-468-2.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных
техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать
от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации
ISBN 978-5-93208-654-4 (Ч. 1)
ISBN 978-5-93208-653-7
Copyright© 1994 by John Wiley & Sons, Inc.
All Rights Reserved.
This EBook is published under license
with the original publisher
John Wiley & Sons, Inc.
© Лаборатория знаний, 2021
Стр.5
Оглавление
Предисловие редактора перевода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Глава 12. Непрерывные распределения (общие сведения) . . . . . . 9
1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. Порядковые статистики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3. Теория плотностей распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4. Системы распределений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.1. Семейство распределений Пирсона . . . . . . . . . . . . 23
4.2. О разложениях плотностей распределения . . . . . . . . 31
4.3. Распределения преобразованных случайных величин . 38
4.4. Распределения, выражающиеся через функции Бесселя 55
4.5. О других преобразованиях . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5. Разложение Корниша—Фишера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6. Замечание о характеризации семейств распределений . . . . 71
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Глава 13. Нормальное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1. Определение и таблицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2. Исторические замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3. Моменты и другие характеристики распределения . . . . . . 91
4. Порядковые статистики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5. Рекордные значения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6. Характеризации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7. Аппроксимации и алгоритмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8. Оценивание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.1. Оценивание параметра 𝑥 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.2. Оценивание параметра 𝑠 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.3. Оценивание функций от параметров 𝑥 и 𝑠 . . . . . . . 139
8.4. Оценивание на основании цензурированных данных . 145
9. Датчики случайных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9.1. Метод Бокса—Мюллера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.2. Усовершенствование, предложенное Марсалья и Брэем 151
698
Стр.699
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
699
9.3. Метод просеяния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
9.4. Метод Аренса—Дитера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10. Распределения, связанные с нормальным . . . . . . . . . . . . 154
10.1. Усеченное нормальное распределение . . . . . . . . . . . 154
10.2. Смеси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
10.3. Другие распределения, связанные с нормальным . . . 166
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Глава 14. Логнормальное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . 203
1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
2. Историческая справка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
3. Моменты и другие характеристики распределения . . . . . . 207
4. Оценивание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
4.1. Параметр 𝑞 известен . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
4.2. Параметр 𝑞 неизвестен . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
4.3. Графические методы оценивания . . . . . . . . . . . . . . 231
5. Таблицы и графики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6. Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
7. Цензурирование и усеченное логнормальное распределение.
Родственные законы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
8. Свертка нормального и логнормального распределений . . . 243
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Глава 15. Семейство обратно гауссовских распределений (распределений
Вальда) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
2. Генезис . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
3. Определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
4. Моменты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
5. Свойства обратно гауссовского распределения . . . . . . . . . 260
6. Оценка параметров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
7. Усеченные распределения — оценка параметров . . . . . . . . 271
7.1. Двусторонне усеченное распределение . . . . . . . . . . 271
7.2. Одностороннее усечение левого хвоста . . . . . . . . . . 272
7.3. Одностороннее усечение правого хвоста . . . . . . . . . 273
8. Условные математические ожидания оценок семиинвариантов 273
9. Родственные распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
9.1. Случайная величина, обратная к обратно гауссовской 276
9.2. Распределение Бирнбаума—Сондерса . . . . . . . . . . . . 277
9.3. Обобщенное обратно гауссовское распределение . . . . 278
9.4. Смеси распределений IG (𝑚, 𝑙 ) и комплементарных
обратных распределений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
9.5. Другие родственные распределения . . . . . . . . . . . . 281
10. Таблицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
11. Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
Стр.700
700
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Глава 16. Распределение Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
1. Историческая справка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
2. Определение и свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
3. Порядковые статистики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
4. Методы оценивания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
4.1. Методы, основанные на порядковых статистиках . . . 299
4.2. Оценивание методом максимального правдоподобия . 304
4.3. Условное оценивание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
4.4. Байесовское оценивание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
4.5. Другие методы оценивания . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
5. Генезис распределения Коши и области его применения . . 312
6. Характеризации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
7. Алгоритмы моделирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
7.1. Алгоритм Монахана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
7.2. Метод принятия-дополнения Кронмаля—Петерсона . . 319
7.3. Алгоритм Аренса—Дитера . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
8. Родственные распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
Глава 17. Гамма-распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
1. Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
2. Моменты и другие характеристики распределения . . . . . . 332
3. Генезис гамма-распределения и области его применения . . 336
4. Таблицы и вычислительные алгоритмы . . . . . . . . . . . . . 338
5. Методы аппроксимации и моделирования случайных величин,
подчиненных гамма-распределению . . . . . . . . . . . . . . . . 340
6. Характеризация гамма-распределения . . . . . . . . . . . . . . . 343
7. Оценивание параметров гамма-распределения . . . . . . . . . 349
7.1. Случай трех неизвестных параметров . . . . . . . . . . . 350
7.2. Случай нескольких неизвестных параметров . . . . . . 354
7.3. Оценивание параметра формы (𝑏 и 𝑔 известны) . . . 361
7.4. Порядковые статистики и оценки, основанные на порядковых
статистиках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
8. Распределения, производные от гамма-распределения . . . . 373
8.1. Усеченное гамма-распределение . . . . . . . . . . . . . . . 373
8.2. Смешанное гамма-распределение . . . . . . . . . . . . . . 375
8.3. Преобразованное гамма-распределение . . . . . . . . . . 376
8.4. Свертка гамма-распределений . . . . . . . . . . . . . . . . 377
8.5. Конечная смесь гамма-распределений . . . . . . . . . . . 379
8.6. Отраженное гамма-распределение . . . . . . . . . . . . . 380
8.7. Обобщенное гамма-распределение . . . . . . . . . . . . . 381
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
Глава 18. Распределение хи-квадрат и распределение Рэлея . . . . 407
1. Исторические замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
2. Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
3. Моменты и другие характеристики распределения . . . . . . 410
Стр.701
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
701
4. Таблицы и номограммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
5. Методы аппроксимации и вычислительные алгоритмы . . . . 418
6. Характеризации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
7. Алгоритмы моделирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
8. Распределение линейных комбинаций . . . . . . . . . . . . . . 435
9. Распределения, производные от 𝑐2-распределения . . . . . . . 441
10. О некоторых исследованиях, посвященных распределению
Рэлея . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
10.1. Историческая справка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
10.2. Основные свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
10.3. Порядковые статистики и другие характеристики распределения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
10.4. Оценивание масштабного параметра . . . . . . . . . . . . 451
10.5. Предсказание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
10.6. Рекордные значения и сопутствующие результаты . . . 463
10.7. Родственные распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
Глава 19. Экспоненциальное распределение . . . . . . . . . . . . . . 481
1. Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
2. Генезис . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
3. Исторические замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
4. Моменты и производящие функции . . . . . . . . . . . . . . . . 485
5. Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
6. Порядковые статистики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
7. Оценивание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
7.1. Классическое оценивание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
7.2. Группированные данные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
7.3. Оценки, использующие избранные квантили . . . . . . 496
7.4. Оценивание квантилей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
7.5. Байесовское оценивание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
7.6. Другие способы оценивания . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
8. Характеризации экспоненциального распределения . . . . . . 520
8.1. Характеризации, основанные на свойстве отсутствия
памяти и на распределении порядковых статистик . . 522
8.2. Характеризации на основе условных математических
ожиданий (регрессия) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
8.3. Рекордные значения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
8.4. Другие результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
8.5. Устойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
9. Смеси экспоненциальных распределений . . . . . . . . . . . . 532
10. Родственные распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541
Глава 20. Распределение Парето . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557
1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557
2. Генезис . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557
Стр.702
702
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
3. Определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
4. Моменты и другие характеристики распределения . . . . . . 560
4.1. Моменты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560
4.2. Другие меры расположения . . . . . . . . . . . . . . . . . 561
4.3. Меры неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561
5. Оценивание параметров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
5.1. Оценки наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . 563
5.2. Оценки, полученные методом моментов . . . . . . . . . 563
5.3. Оценки максимума правдоподобия . . . . . . . . . . . . . 564
5.4. Оценивание с использованием порядковых статистик . 567
5.5. Последовательное оценивание . . . . . . . . . . . . . . . . 570
5.6. Минимаксное оценивание . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571
5.7. Оценивание плотности распределения Парето . . . . . 571
5.8. Оценивание квантилей распределения Парето . . . . . . 573
5.9. Цензурированные данные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575
5.10. Байесовское оценивание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576
6. Оценивание кривой Лоренца и коэффициента Джини . . . . 577
7. Разнообразные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579
8. Порядковые статистики и рекордные значения . . . . . . . . . 581
8.1. Порядковые статистики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
8.2. Рекордные значения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
9. Характеризации распределения Парето . . . . . . . . . . . . . . 584
10. Произведения и частные случайных величин, подчиненных
распределению Парето . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587
11. Приложения и родственные распределения . . . . . . . . . . . 589
12. Обобщенное распределение Парето . . . . . . . . . . . . . . . . 595
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600
Глава 21. Распределение Вейбулла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607
1. Историческая справка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607
2. Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608
3. Порядковые статистики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615
4. Методы оценивания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618
4.1. Оценивание методом моментов . . . . . . . . . . . . . . . 619
4.2. Наилучшие линейные несмещенные оценки . . . . . . . 621
4.3. Асимптотически наилучшие линейные несмещенные
оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624
4.4. Оценивание по минимуму квантильного расстояния . 628
4.5. Модифицированные моментные оценки . . . . . . . . . . 629
4.6. Оценки максимального правдоподобия . . . . . . . . . . 632
4.7. Модифицированные оценки максимального правдоподобия
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636
4.8. Байесовские и сжимающие оценки . . . . . . . . . . . . 638
5. Толерантные границы и интервалы . . . . . . . . . . . . . . . . 639
6. Прогнозные границы и интервалы . . . . . . . . . . . . . . . . 643
7. Рекордные значения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647
Стр.703
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
703
8. Таблицы и графики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650
9. Характеризации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652
10. Алгоритмы моделирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656
11. Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658
12. Родственные распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693
Стр.704