В пособие также включены образцы вариантов вступительных экзаменов в МФТИ 1998–2013 гг. <...> Уравнения, сводящиеся к алгебраическим относительно sinx, cosx и tgx . <...> Логарифмические неравенства с постоянными основаниями 291 Справочные сведения . <...> Логарифмические неравенства с переменными основаниями 301 Справочные сведения . <...> В пособие также включены образцы вариантов вступительных экзаменов таких вузов, как МГУ, МФТИ, МГИЭМ, МИРЭА, и др. <...> Условие M теоремы Пифагора можно записать в виде следующего высказывания: M≡{в треугольнике ABC угол C—прямой}, азаключение N этой теоремы формулируется так: N ≡{c2 = a2 + b2}, где a, b, c—стороны, лежащие против углов A, B и C соответственно. <...> Действительные числа Для доказательства этой теоремы можно воспользоваться либо теоремой косинусов, либо третьим признаком равенства треугольников (по трем сторонам). <...> Выяснить, какое из утверждений A и B следует из другого, используя символы ⇒, ⇔: 1) A ≡{каждое из чисел a, b делится на 5}, B ≡{сумма a + b делится на 5}; 2) A ≡{последняя цифра числа a четная}, B ≡{число a делится на 4}; 3) A ≡{треугольник ABC—равнобедренный}, B ≡{две медианы треугольника ABC равны между собой}; 4) A ≡{из отрезков, длины которых равны a, b, c, можно составить треугольник}, B ≡{положительные числа a, b, c связаны неравенствами a + b > c, b + c > a, c + a > b}. <...> Логарифмы. а) Логарифм числа b,где b >0, по основанию a,где a >0, a =1 (обозначается loga b),—показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b,т. е. aloga b = b. <...> В частности, loga ar = r. b c =loga b−loga c, },где {rn}—последовательность рациональных чисел такая, rn = x. <...> Доказать, что если cosxcosycos z =0, то справедливо равенство cos(x + y + z)= cosxcosycos z(1−tgxtg y−tgytg z−tg z tgx). <...> Если квадратное уравнение (1) имеет два действительных <...>
Математика_пособие_для_поступающих_в_вузы.pdf
УДК 51(076)
ББК 22.1.729
Ш12
Шабунин М. И.
Ш12
Математика : пособие для поступающих в вузы /
М. И. Шабунин.—8-е изд., электрон.—М. : Лаборатория
знаний, 2020.—747 с.—Систем. требования:
Adobe Reader XI ; экран 10".—Загл. с титул. экрана.—
Текст : электронный.
ISBN 978-5-00101-902-2
Книга предназначена для всех, кто, обладая знаниями
основ школьного курса математики, хочет систематизировать
свои знания, а также стремится успешно сдать ЕГЭ
и вступительные экзамены в вуз. Пособие окажется полезным
студентам педагогических вузов, а также учителям средних
школ.
Каждый раздел пособия содержит необходимый справочный
материал и подробно разобранные примеры, взятые
из олимпиад МФТИ и практики вступительных экзаменов
в вузы, предъявляющие достаточно высокие требования
к математической подготовке абитуриентов. Кроме того,
в пособие включены задачи для самостоятельной работы
учащихся. Ко всем задачам даны ответы, а к некоторым
наиболее трудным—краткие указания.
В пособие также включены образцы вариантов вступительных
экзаменов в МФТИ.
УДК 51(076)
ББК 22.1.729
Деривативное издание на основе печатного аналога: Математика
: пособие для поступающих в вузы / М. И. Шабунин.—
8-е изд.—М. : Лаборатория знаний, 2020.—744 с. : ил.—
ISBN 978-5-00101-199-6.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных техническими средствами защиты авторских прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или
выплаты компенсации
ISBN 978-5-00101-902-2
○c Лаборатория знаний, 2015
Стр.3
Оглавление
Предисловие автора
Глава 1. Действительные числа
10
11
§1. Необходимые и достаточные условия. Целые и рациональные
числа. Метод математической индукции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
§2. Действительные числа, степени и корни, логарифмы. Тождественные
преобразования алгебраических выражений . . . . . . . . . 19
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
§3. Последовательность. Арифметическая и геометрическая прогрессии.
Предел последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
§4. Основные формулы тригонометрии. Арксинус, арккосинус
и арктангенс числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1. Основные формулы тригонометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2. Арксинус, арккосинус и арктангенс числа . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
§5. Числовые неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Ответы и указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Глава 2. Алгебраические уравнения
78
§6. Уравнение и его корни. Преобразование уравнений . . . . . . . . . . . 78
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Стр.4
4
Оглавление
§7. Рациональные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
§8. Иррациональные уравнения. Уравнения, содержащие знак модуля
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Глава 3. Показательные и логарифмические уравнения
98
§9. Показательные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
§10. Логарифмические уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Глава 4. Тригонометрические уравнения
110
§11. Простейшие тригонометрические уравнения. Уравнения, сводящиеся
к алгебраическим относительно sinx, cos x и tgx . . . . . . 110
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
§12. Решение уравнений с помощью введения вспомогательного угла,
методом замены неизвестного и разложения на множители,
с помощью формул понижения степени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
§13. Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой
частей. Уравнения, содержащие знаки корня и модуля . . 127
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
§14. Тригонометрические уравнения различных видов . . . . . . . . . . . . . 140
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Задачи к главе IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Стр.5
Оглавление
5
Глава 5. Системы уравнений
156
§15. Основные понятия, относящиеся к системам уравнений. Системы
линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
§16. Системы алгебраических уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
1. Нелинейные системы уравнений с двумя неизвестными . . . . 170
а) Однородные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
б) Симметрические системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
в) Другие типы систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
2. Иррациональные системы с двумя неизвестными . . . . . . . . . . 181
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
3. Алгебраические системы с тремя неизвестными . . . . . . . . . . . 186
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
§17. Задачи на составление и решение уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
1. Задачи на движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
2. Задачи на сплавы и смеси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
3. Задачи на совместную работу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
§18. Системы показательных, логарифмических и тригонометрических
уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
1. Системы показательных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
2. Системы, содержащие логарифмы с постоянными основаниями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
3. Системы, содержащие логарифмы с переменными основаниями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
Указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
4. Системы тригонометрических уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Стр.6
6
Оглавление
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
Глава 6. Алгебраические неравенства
243
§19. Основные понятия, связанные с решением неравенств . . . . . . . . 243
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
§ 20. Квадратный трехчлен и квадратные неравенства . . . . . . . . . . . . . 251
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
§ 21. Рациональные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
1. Метод интервалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
2. Расположение корней квадратного трехчлена на числовой
оси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
§ 22. Иррациональные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
Глава 7. Показательные, логарифмические и тригонометрические неравенства
285
§
23. Показательные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
§ 24. Логарифмические неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
1. Логарифмические неравенства с постоянными основаниями 291
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
2. Логарифмические неравенства с переменными основаниями 301
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
§ 25. Тригонометрические неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
Стр.7
Оглавление
7
Глава 8. Системы неравенств с двумя переменными
322
§ 26. Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
1. Прямая на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
2. Угол между прямыми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
3. Линейные неравенства с двумя переменными . . . . . . . . . . . . . . 324
4. Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
5. Уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными,
содержащие знак модуля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
§ 27. Нелинейные системы неравенств с двумя переменными . . . . . . . 336
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
Глава 9. Планиметрия
344
§ 28. Треугольник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
§ 29. Четырехугольник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
§30. Окружность и круг . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
§31. Комбинации геометрических фигур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
Глава 10. Прямые и плоскости в пространстве
429
§32. Справочный материал по стереометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
§33. Сечения многогранников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
§34. Вычисление углов в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
1. Угол между прямыми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
Стр.8
8
Оглавление
2. Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикуляр
и наклонная. Угол между прямой и плоскостью . . . . . . 467
а) Перпендикулярность прямой и плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
б) Угол между прямой и плоскостью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
3. Двугранные углы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
§35. Вычисление расстояний в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
1. Расстояние между двумя точками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
2. Расстояние от точки до прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
3. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между параллельными
плоскостями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
4. Расстояние между скрещивающимися прямыми . . . . . . . . . . . 494
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
Глава 11. Многогранники
500
§36. Треугольная пирамида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
1. Объем пирамиды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
2. Пирамида и сфера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
3. Разные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
§37. Четырехугольная и шестиугольная пирамиды . . . . . . . . . . . . . . . . 530
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
§38. Призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
Глава 12. Круглые тела, комбинации геометрических тел
559
§39. Конус, цилиндр и сфера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
1. Конус и сфера. Цилиндр и сфера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
2. Сфера, прямая и плоскость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565
§ 40. Комбинации круглых тел и многогранников . . . . . . . . . . . . . . . . . 568
1. Цилиндр и многогранник. Конус и многогранник . . . . . . . . . 568
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568
2. Комбинации многогранников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
Стр.9
Оглавление
9
Задачи к главам 10–12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585
Первый уровень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585
Второй уровень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587
Третий уровень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600
Глава 13. Производная и интеграл
603
§ 41. Производная и ее применение к исследованию функций . . . . . . 603
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621
§ 42. Интеграл и его приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632
Глава 14. Задачи с параметрами. Разные задачи
633
§ 43. Уравнения и системы уравнений с параметрами . . . . . . . . . . . . . . 633
Примеры уравнений с параметрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633
Примеры систем уравнений с параметрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672
§ 44. Неравенства и системы неравенств с параметрами . . . . . . . . . . . . 673
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694
§ 45. Делимость целых чисел, сравнения, целочисленные решения
уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702
§ 46. Элементы комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702
Справочные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705
§ 47. Разные задачи по алгебре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705
Примеры с решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709
Варианты олимпиад и письменных вступительных экзаменов по математике
в МФТИ
710
Ответы к вариантам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714
Стр.10