1
Министерство образования Российской федерации
Воронежский государственный университет
конспекты лекций вопросы и задачи
Дифференциальные уравнения
часть 1
Элементарная теория
пособие для студентов специальности 02.03.01
Воронеж
2015
Стр.1
3
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................................................................ 5
1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ .......................................................................................................... 6
1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ ................................ 6
1.1.1. Примеры. .............................................................................................................................. 6
1.1.2. Определение ОДУ. ............................................................................................................... 7
1.1.3. Определение решения ОДУ. ................................................................................................ 8
1.1.4. Определение следования и эквивалентности.................................................................... 9
1.1.5. Определение интеграла ОДУ и полного (общего) интеграла. ...................................... 10
1.1.6. Определение общего решения (ОР). ................................................................................. 10
1.1.7. Виды уравнений первого порядка. .................................................................................... 11
1.1.8. Уравнение с разделенными переменными. ...................................................................... 11
1.2. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА............................................ 12
1.2.1. Общий вид. .......................................................................................................................... 12
1.2.2. Решение (ЛОУ) методом разделения переменных ......................................................... 12
1.2.3. Функция
t0()t и её свойства ......................................................................................... 13
1.2.4. Общее решение (ЛОУ) ....................................................................................................... 14
1.2.5. Свойства решений (ЛУ) .................................................................................................... 14
1.2.6. Оператор сдвига по траекториям (ЛУ) ......................................................................... 16
1.2.7. Два частных вида (ЛУ). .................................................................................................... 18
1.3. УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ................................................................................ 18
1.3.1. Симметричные уравнения и их различные трактовки. ................................................. 18
1.3.2. Связи решений симметричного уравнения в различных трактовках. ......................... 18
1.3.3. Определения уравнения в полных дифференциалах (УПД) и потенциальной функции
(ПФ)............................................................................................................................................... 20
1.3.4. Полный интеграл УПД. ..................................................................................................... 21
1.3.5. Признак полного дифференциала и алгоритм нахождения потенциальной функции
(ПФ)............................................................................................................................................... 22
1.3.6. Пример. ............................................................................................................................... 23
1.3.7. Об интегрирующем множителе (пример). ..................................................................... 24
1.4. ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ...................................................................... 25
1.4.1. Линейные элементы электрической цепи. ...................................................................... 25
1.4.2. Законы Кирхгофа. .............................................................................................................. 26
Стр.3
6
1. Элементарная теория
1.1. Основные понятия и уравнения с разделяющимися
переменными
1.1.1. Примеры.
Рассмотрим ряд примеров уравнений, содержащих независимую переменную,
неизвестную функцию этой переменной вместе с производной или дифференциалами.
а)
yx2
. Решением этого уравнения является любая функция вида ,
где c - произвольная константа.
yc
3
x
Это уравнение можно также записать «в дифференциалах»:
2 .
dy x dx
б) Замечательным свойством функции yex является то, что она совпадает со
своей производной; это свойство записывается в виде «обыкновенного дифференциального
уравнения» (ОДУ)
yy ,
решениями которого, наряду с xe , будут все функции семейства y ce .
x
в) С учетом механического смысла второй производной (ускорение) уравнение
прямолинейного равноускоренного движения записывается в форме
xa
,
где .
dt
x dx d x
dt
2
2
Решим это дифференциальное уравнение:
x a x at c x
1
(0)
c t c
2
at
где 2c – координата в начальный момент 20c x x ,
c1 – начальная скорость 10c x v .
(0)
г) xx 0 .
Решениями этого уравнения являются функции x 0, sin , cos .
x t x
Решением также будет и линейная комбинация этих функций:
12
x c t c t .
sin cos
д) .
uu
xy
22
22 0
t
2
1 2,
3
Стр.6
7
В данном случае это частные производные по x и по y функции двух независимых
переменных
функции u 0, u x y c
x t x t .
u ( , )u x y . Решением этого уравнения являются, например,
. Функции, удовлетворяющие этому уравнению, назы
ваются
гармоническими функциями.
е) ( ) ( 1)
Решением является, например, функция x 0 .
Последние два уравнения не являются обыкновенными дифференциальными
уравнениями. д) – дифференциальное уравнение с частными производными, е)
– дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом.
е).
Задачи. 1) Придумайте как можно больше решений уравнения из примера
2) Имеет ли это уравнение решения вида xt
чениях
?
ж) 12
21
1
2
x
0 , x
0
sin
sin
c
xt xt
xt
()
()
()
xx,
xx
или 11
22
dxx
dtxx
01
10
.
– векторная неизвестная функция.
Решениями этого уравнения являются функции
0
ttsin
, x sin
costt.
x ttc ttcos
cos
cos
Все решения этого уравнения могут быть записаны, как мы покажем позже, в виде
12
, где 1c и 2c – произвольные константы.
1.1.2. Определение ОДУ.
Определение. Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) называется
равенство, связывающие значение (возможно векторное) неизвестной
функции одного вещественного аргумента при произвольном значении этого аргумента
с некоторыми производными этой функции при том же значении аргумента.
Порядком ОДУ называют сумму старших порядков производных всех
скалярных функций, входящих в данное уравнение.
Замечание 1. Как отмечено при разборе примеров (а), (в), производные в ДУ
иногда выражают через дифференциалы:
y'
dy dx
, x
dx dt
, dx xdt x
,
d x 22
2 , d x xdt
2
dt
.
, если да, то при каких зна
Стр.7
8
Замечание 2. Систему нескольких ДУ с несколькими неизвестными функциями
(см. пример (ж)) можно рассматривать как одно ДУ с векторной неизвестной
функцией.
Замечание 3. Если в уравнение входят произвольные постоянные, то уравнение
считается бесконечной совокупностью уравнений. Например, уравнение
1
x at c
из примера (в) содержит параметр a и произвольную постоянную 1
x ,
22 2
at
2 1,
а функция
x t
2
2
не является; она будет решением лишь для значения параметра a 1 .
1.1.3. Определение решения ОДУ.
Определение. Решением ОДУ называется функция, обладающая следующими
свойствами:
1. Её область определения есть промежуток вещественной оси, т.е. не сводящийся
к единственной точке отрезок, полуинтервал или интервал, возможно,
бесконечный в одну или обе стороны.
2. При её подстановке уравнение превращается в тождество относительно независимой
переменной и, если уравнение содержит дифференциалы, то и
относительно приращения независимой переменной.
3. Если в уравнение входят произвольные постоянные, то она должна удовлетворять
уравнению при каких-нибудь значениях произвольных постоянных.
так как облегчает описание множества всех решений. Например, множество всех
решений уравнения
Условие 1 не всегда включается в определение решения, однако оно удобно,
y 0 на промежутке J описывается формулой yc
множество всех решений пришлось бы описывать сложнее 11
22
c при х J
.
. Для
множества, состоящего, скажем, из двух не пересекающихся интервалов 1J и 2J ,
y c при х J ,
t x
at
t
x at
x at
x at e
...
1,
,
Её решениями являются, например, функции
22
c ; поэтому оно
представляет бесконечную совокупность уравнений, зависящих от параметра a :
2,
Стр.8