Национальный цифровой ресурс Руконт - межотраслевая электронная библиотека (ЭБС) на базе технологии Контекстум (всего произведений: 521158)
Консорциум Контекстум Информационная технология сбора цифрового контента
Уважаемые СТУДЕНТЫ и СОТРУДНИКИ ВУЗов, использующие нашу ЭБС. Рекомендуем использовать новую версию сайта.

Дополнительные главы теории обобщенных функций (90,00 руб.)

0   0
АвторыБаев Александр Юрьевич, Бурлуцкая Мария Шаукатовна, Давыдова Майа Борисовна
ИздательствоИздательский дом ВГУ
Страниц46
ID437006
АннотацияВ настоящем учебно-методическом издании содержится теория преобразования Фурье и обобщенных функций.
Кому рекомендованоРекомендуется для студентов 4 курса дневного отделения математического факультета. Для направления 010200 – Математика и компьютерные науки
Дополнительные главы теории обобщенных функций [Электронный ресурс] / А.Ю. Баев, М.Ш. Бурлуцкая, М.Б. Давыдова .— Воронеж : Издательский дом ВГУ, 2015 .— 46 с. — 46 с. — Режим доступа: https://rucont.ru/efd/437006

Предпросмотр (выдержки из произведения)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ Учебно-методическое пособие Составители: А. Д. Баев, М.Ш. Бурлуцкая, М.Б. Давыдова Воронеж Издательский дом ВГУ 2015 1 Утверждено научно-методическим советом математического факультета 28 мая 2015г., протокол № 0500-05 Рецензент – доктор физ.-мат. наук, профессор А.В. Глушко Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре математического анализа математического факультета Воронежского государственного университета Рекомендуется для студентов 4 курса дневного отделения математического факультета Для направления 010200 – Математика и компьютерные науки 2 ВВЕДЕНИЕ В настоящем учебно-методическом издании содержится теория преобразования Фурье и обобщенных функций. <...> Преобразование Фурье является мощным средством как для теоретического исследования многих вопросов, встречающихся в различных разделах математики, так и для решения многих практических задач. <...> Теория обобщенных функций находит многочисленные приложения при исследовании уравнений с частными производными, занимает значительное место в арсенале современных математических методов, применяемых не только специалистами-математиками, но также физиками и инженерами. <...> В следующем методическом издании авторами планируется рассмотрение свойств псевдодифференциальных операторов. <...> Преобразование Фурье абсолютно интегрируемых функций одного переменного 1.1.1. <...> Определение преобразования Фурье и его свойства Рассмотрим функцию ( ) Предположим, что эта функция ( ) f xu x( ) ( ) ∫∫f xdx u xdx i v x dx=+∫ () . bb b aa a () () f x , определенную при всех (, ) f x принимает комплексные значения, то есть ( )=+iv x , где ( )ux и ( )vx – функции с вещественными значениями. <...> Для любого отрезка [a, b] определим интеграл от ()f x с помощью равенства (1.1.1) Из равенства <...>
Дополнительные_главы_теории_обобщенных_функций.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ Учебно-методическое пособие Составители: А. Д. Баев, М.Ш. Бурлуцкая, М.Б. Давыдова Воронеж Издательский дом ВГУ 2015 1
Стр.1
ВВЕДЕНИЕ В настоящем учебно-методическом издании содержится теория преобразования Фурье и обобщенных функций. Преобразование Фурье является мощным средством как для теоретического исследования многих вопросов, встречающихся в различных разделах математики, так и для решения многих практических задач. Теория обобщенных функций находит многочисленные приложения при исследовании уравнений с частными производными, занимает значительное место в арсенале современных математических методов, применяемых не только специалистами-математиками, но также физиками и инженерами. Достаточно сказать, что она позволяет строго определить понятие разрывных решений дифференциальных уравнений, которые часто встречаются в практических задачах. В следующем методическом издании авторами планируется рассмотрение свойств псевдодифференциальных операторов. 3
Стр.3
f () что +∞ −∞ ∫ −→ при v→∞. fx g x dx () () +∞ −∞ − 0 ти такую ступенчатую функцию ( )gx , что () () ствуют такие ba a Так как интеграл от ( ) > , что −+ <∫∫ . −∞ силу i fx dx fx dx b () Так как функция ( ) критерия =< a b ( ) 01 ax a ay a ii << << sup ii k + + 1 1 =− . Чтобы построить ступенчатую функцию ( )gx , для которой выполняf xf y( ) ется (1.1.9), теперь достаточно положить ( ) 0gx = вне [ab, ] и ( )gx ( )e ∈ ( = f при x aa+1)ll, Таким образом, последовательность gx ступенчатых функций, , где e – некоторая фиксированная точка из (aa+1)ll, v ( ) gf f x−≤ − g % () () vv следует, что последователь% +∞ −∞ ∫ () () ,dx x ность g % равномерно сходящихся последовательностей получаем утверждение леммы для любой абсолютно интегрируемой функции ( ) v ( ) равномерно сходится к ( ). Следовательно, в силу свойств f x . f% Замечание. Аналогичным образом определяется преобразование Фурье для функций, интегрируемых на всей оси −∞< < +∞ по Лебегу, если x интегралы в соответствующих формулах понимать в смысле теории интегрирования Лебега. В таком случае существование последовательности сту6 удовлетворяющих соотношению (1.1.8), построена. Заметим теперь, что из оценки . () 2 f x интегрируема по Риману на отрезке [ab, ], то в интегрируемости aa a <...< = отрезка [ab, ], что ∑ Δ < , где Δ= + − ,aai 2 существует k− i= 1 0 ii разбиение ii 1 такое +∞ Действительно, достаточно показать, что для любого ∫ fx g x dx < . x (1.1.8) > 0 можно най(1.1.9) f x по всей оси −∞< < +∞ сходится, то сущеx можно найти такую последовательность gx ступенчатых функций, Покажем теперь, что для любой абсолютно интегрируемой функции v ( ) ε ε ν ξ ε ω ε ξ ω ξξ ξ ξ
Стр.6
пенчатых функций ( )v gx , обладающей свойством (1.1.8), непосредственно вытекает из теории интеграла Лебега. 1.1.2. Преобразование Фурье производной при всех (, ) Фурье функции Пусть абсолютно интегрируемая функция f x′ 1 d f x idx f ( )x имеет производную ма. В этом случае преобразование Фурье функции ( ) () ⎛⎞ = idx ⎜⎟ ⎝⎠ 1 d fx ⎛⎞ == = i dx ⎝⎠ ∫∫ ∫ % ⎜⎟ e fx dx idx ix −∞ Так как de 11 1 () dd ef x f x +∞ +∞ −ix −− −ix i −∞ e dfx ix () i ( ) +∞ 1 −∞ − i −∞ fx de () x x→±∞. Поскольку справедливо равенство () ( )=+′∫ f xf s ds 0 f (0) , то в силу предположения об абсолютной интегрируемости функции ( ) функция ( ) f x′ f x имеет пределы при x→+∞ и x→−∞. Легко видеть, что если хотя бы один из этих пределов отличен от нуля, то функция ( ) может быть абсолютно интегрируемой, следовательно, fx ( ) 0→ при f x не x→±∞. Тем самым формула (1.1.10) доказана. Формула (1.1.10) показывает, что при преобразовании Фурье операция дифференцирования переходит в алгебраическую операцию – умножение на i функции ( ). Это открывает широкие возможности для примеf% нения преобразования Фурье при исследовании дифференциальных операторов. 1.1.3. Связь между убыванием функции ( ) ее преобразования Фурье тегрируемой функции ( ) f x и гладкостью Выше было показано, что преобразование Фурье ( ) абсолютно инf x является ограниченной непрерывной функциf% ей, стремящейся к нулю при →∞. Формальное дифференцирование по 7 %% . f ( ) x∈−∞ +∞ , причем ( ) непрерывна и абсолютно интегрируеf x и преобразование связаны между собой соотношением () ( ) +∞ (1.1.10) Докажем это. С помощью интегрирования по частям получаем, что () ( ) . ix =−i e dx , то остается показать, что fx ( ) 0→ при −−ix ξξ ξ ξξ ξ ξ ξ ξξ ξ ξ ξ ξ ξ
Стр.7
переменной +∞ к интегралу − ∫ie xf −∞ интеграла (1.1.3), определяющего функцию ( ), приводит −ix () f% x dx. Предположим, что функция ( ) интеграл, зависящий от параметра f% df% xfx абсолютно интегрируема, тогда этот , равномерно сходится. Применяя теорему о дифференцировании по параметру несобственных интегралов, получим, что функция ( ) имеет производную и справедливо равенство ( ) +∞ d разование Фурье функции ()x f x i ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠ x fx id % % () ( ) =− ∫ie xf x dx . −∞ −ix () Заметим, что правая часть этого равенства представляет собой преоб. Таким образом, получаем формулу df% ( )x , сле преобразования Фурье в операцию дифференцирования d d функцией xfx x ( ),..., m абсолютно интегрируемыми являются и функции f x , то интеграл в (1.1.3) можно будет дифференцировать m раз. f ( )x ( ) Таким образом, чем более сильные условия убывания на бесконечности мы накладываем на функцию ( ) f x , тем более гладкой получается функция ( ). f% 1.1.4. Формула обращения преобразования Фурье но можем найти функцию ( ). В этом случае возникает задача обращения преобразования Фурье, то есть задача о вычислении функции ( ) f% Часто возникает такая ситуация, что мы не знаем самой функции ( ) f% f x в точке x по известной функции ( ). Следующая теорема дает решение этой задачи при дополнительном предположении о существовании производной функции ( ) f x в точке x . производная ( ) , то Теорема 1. Если функция ()f x абсолютно интегрируема и существует f x′ 8 f x , (1.1.11) которая показывает, что операция умножения на выражение x i переходит по. Если вместе с ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ
Стр.8