Поступила в редакцию 20.06.2012 УДК 539.3 СВОБОДНЫЕ ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ С ЛОКАЛЬНО СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ НЕОДНОРОДНОСТЯМИ Д. В. <...> Бондаренко1 Численно-аналитически исследуется задача на собственные значения для дифференциального уравнения четвертого порядка, моделирующая свободные поперечные колебания сильно неоднородного упругого стержня. <...> Разыскиваются представляющие интерес в прикладном аспекте низшие моды колебаний. <...> Ключевые слова: задача Штурма–Лиувилля, поперечные колебания, метод ускоренной сходимости, сосредоточенная неоднородность. <...> The eigenvalue problem for the fourth-order differential equation simulating the free transverse oscillations of a strongly inhomogeneous elastic beam is studied numerically and analytically. <...> The lowest modes of oscillations that are of interest in applications are sought. <...> Функции p(x) и r(x) определяют меняющиеся по длине изгибную жесткость стержня и линейную плотность соответственно. <...> В теоретическом и прикладном аспектах основной интерес представляют низшие формы колебаний (условно n< 10). <...> Задачу (1), (2) можно свести к форме, удобной для численно-аналитических исследований: u = θ, θ = −m/p(x),m = k, k = −λr(x)u;(3) u(0) = u(l)=0,θ(0) = θ(l)= 0, (4) где дополнительные переменные m(x) и k(x) имеют вполне механический смысл и соответствуют изгибающему моменту и перерезывающей силе. <...> Стандартная процедура метода сагиттальной функции [4] для нахождения собственных значений и функций задачи (3), (4) заключается в построении общего решения уравнений (3), зависящего от параметра λ, с последующим удовлетворением условий в точках x =0 и x = l. <...> Необходимое и достаточное 1 Бондаренко Дмитрий Валерьевич — асп. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: yoty@yandex.ru. <...> Искомое решение (u, θ,m,k) определено с точностью до скалярного множителя, вычисляемого из условия нормировки. <...> Первое собственное значение λ1 = 2181,355 . после двенадцати итераций численного Ранее [4] вычислительная эффективность метода была проиллюстрирована на примере с жесткостью алгоритма приближенно равно 2181,3645, после пятнадцати — 2181,3582, после восемнадцати <...>