МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.В. Копытин, А.С. Корнев ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ УГЛОВЫХ МОМЕНТОВ Часть 1 Учебное пособие для вузов Воронеж Издательский дом ВГУ 2015 Утверждено научно-методическим советом физического факультета 30 апреля 2015 г., протокол № 4 Рецензент д-р физ.-мат. наук С.Д. Кургалин Учебное пособие подготовлено на кафедре теоретической физики физического факультета Воронежского государственного университета Рекомендуется для студентов бакалавриата, обучающихся на физическом факультете Воронежского государственного университета Для направлений: 011200 — Физика, 140800 — Ядерные физика и технологии 2 Оглавление Введение Глава 1. <...> Графический метод в теории углового момента . <...> Главный акцент сделан на практическое применение основных соотношений алгебры угловых моментов. <...> Вывод расчетных формул для коэффициентов Клебша – Гордана, 6j- и 9j-символов опущен (имеются ссылки на соответствующую литературу). <...> Глава завершается доказательством центральной теоремы в данной дисциплине — теоремы Вигнера – Эккарта. <...> Орбитальный момент В курсе квантовой теории вводился оператор орбитального момента (или момента количества движения) ˆ L = [ˆ ветственно операторы координаты и импульса. <...> Его основные свойства были получены с использованием координатного представления. <...> Перечислим их: r Ч ˆ 1) в координатном представлении ˆ Lk, ˆ Ll] = i m εklmˆ Lm, [ˆ L2, ˆ векторный эрмитов чисто мнимый оператор; Lk] = 0; L = −i[rЧ∇], т.е. ˆ L — аксиально2) коммутационные соотношения для декартовых компонент: [ˆ 3) собственные значения: L2 p], где ˆ r и ˆ p — соотk,l,m = x,y,z. <...> Для собственных функций спиновых операторов ˆ Σ формально допустимо координатное представление (1.3). <...> (Рекомендуем самостоятельно проверить для них коммутационные соотношения (1.1) <...> Спин фермионов Частицы с полуцелым спином <...>
_Введение_в_алгебру_угловых_моментов._Ч._1.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
И.В. Копытин, А.С. Корнев
ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ
УГЛОВЫХ МОМЕНТОВ
Часть 1
Учебное пособие для вузов
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2015
Стр.1
Оглавление
Введение
Глава 1. Основные понятия и соотношения
5
7
1.1. Угловой момент ... .... ..... .... .... .... 7
1.1.1. Орбитальный момент ..... .... .... .... 7
1.1.2. Спин бозонов . .... ..... .... .... .... 8
1.1.3. Спин фермионов ... ..... .... .... .... 9
1.1.4. Оператор углового момента . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.5. Матрицы оператора углового момента . . . . . . . 14
1.2. Сложение двух угловых моментов . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1. Полный момент ... ..... .... .... .... 16
1.2.2. Волновые функции составной системы . . . . . . . 17
1.2.3. Свойства коэффициентов Клебша – Гордана . . . 19
1.2.4. Рекуррентные соотношения . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.5. Учет фазовых множителей . . . . . . . . . . . . . 27
1.2.6. 3jm-символы и их свойства . . . . . . . . . . . . . 28
1.3. Матрица конечных вращений .... .... .... .... 31
1.3.1. Генератор вращения ..... .... .... .... 31
1.3.2. Преобразование базисных функций . . . . . . . . . 32
1.3.3. Свойства матрицы конечных вращений . . . . . . 34
1.4. Неприводимые тензорные операторы . . . . . . . . . . . . 37
1.4.1. Циклический базис . ..... .... .... .... 37
1.4.2. Определение Вигнера для сферического
тензора .... .... ..... .... .... .... 40
1.4.3. Определение Рака для сферического тензора . . . 42
1.4.4. Произведения сферических тензоров . . . . . . . . 43
1.4.5. Теорема Вигнера – Эккарта . . . . . . . . . . . . . 46
Глава 2. 3j-, 6j- и 9j-символы
54
2.1. Схемы связи моментов. Формализм . . . . . . . . . . . . 54
2.1.1. Связь двух моментов ..... .... .... .... 55
2.1.2. Связь трех моментов. 6j-символы . .... .... 56
2.1.3. Связь четырех моментов. 9j-символы ... .... 59
3
Стр.3
При изложении материала настоящего пособия авторы придерживались
стиля книги [2] и терминологии справочного руководства [3].
Задачи для самостоятельного решения собраны в пособии [4] из списка
основной литературы.
Наиболее строгое изложение теории углового момента на основе
групповых свойств вращений имеется в монографии [1] из списка допонительной
литературы. Оригинальное изложение рассмотренных вопросов
имеется в моногафии [2] и статье [3] из того же списка.
Поясним некоторые наиболее часто встречающиеся в данном пособии
обозначения.
Оператор Гамильтона, или набла ∇, определяется следующим образом:
∇n
= n ∂
∂n,
где n — единичный вектор в заданном направлении; в этом же направлении
вычисляется и производная. В декартовых координатах
∇= ex
∂x +ey
∂
∂y +ez
∂
– градиент: gradf(r) ≡∇f(r);
– дивергенция: divA(r) ≡ (∇·A(r));
– ротор: rotA(r) ≡ [∇×A(r)];
– лапласиан: ∇2f(r) ≡ div gradf(r);
∂z .
∂
С помощью оператора ∇ и операций векторной алгебры можно выразить
основные операции векторного анализа:
Всюду используется атомная система единиц: ℏ = m = e = 1.
∇2A(r) = ex∇2Ax(r)+ey∇2Ay(r)+ez∇2Az(r).
(В единицах СИ
ℏ = 1.055 · 10−34 Дж· с; m = 9.11 · 10−31 кг; e = 1.602 · 10−19 Кл).
6
Стр.6
Глава 1.
Основные понятия и соотношения
1.1. Угловой момент
1.1.1. Орбитальный момент
В курсе квантовой теории вводился оператор орбитального момента
(или момента количества движения) ˆ
L = [ˆ
ветственно операторы координаты и импульса. Его основные свойства
были получены с использованием координатного представления. Перечислим
их:
r Ч ˆ
1) в координатном представлении ˆ
Lk, ˆ
Ll] = i
m
εklmˆ
Lm,
[ˆ
L2, ˆ
векторный эрмитов чисто мнимый оператор;
Lk] = 0;
L = −i[r×∇], т.е. ˆ
L — аксиально2)
коммутационные соотношения для декартовых компонент:
[ˆ
3) собственные значения:
L2
p], где ˆ
r и ˆ
p — соотk,l,m
= x,y,z. (1.1)
l = l(l +1), Lz = m;
l = 0, 1,... ,
m = −l,−l +1,... ,l; (1.2)
4) собственные функции в сферической системе координат:
θ,ϕ|lm = Ylm(θ,ϕ) = Ylm(n) =
= eimϕ
2l +1
4π
где Pm
(l −m)!
(l +m)! Pm
l (x) — присоединенный полином Лежандра:
Pm
l (x) = (−1)l
2ll! (1−x2)m/2 dl+m
l (cos θ), (1.3)
dxl+m (1−x2)l.
Индекс l принято называть орбитальным, а m — магнитным
квантовыми числами. Функции Ylm(θ,ϕ) называются сферическими
функциями. В некоторых источниках для них используется
термин «сферическая гармоника».
7
Стр.7
В дальнейшем всюду, если это не оговорено особо, под n будем подразумевать
единичный вектор в направлении r, под nA — единичный
вектор в направлении вектора A. В аргументе Y -функции n ≡ (θ,ϕ).
1.1.2. Спин бозонов
Помимо орбитального момента (в центральном поле), микрочастицы
могут нести еще и «внутренний» момент количества движения. Он
называется спиновым моментом или просто спином. Экспериментально
установлено, что проекция спина на выделенное направление может
принимать либо только целые, либо только полуцелые значения.
Частицы с целым спином называются бозонами. Свойства их спина
аналогичны (1.1) (по совместной измеримости) и (1.2) (по величине
собственных значений). При этом, однако, l может принимать не любые
значения, а лишь одно конкретное целое s. Для собственных функций
спиновых операторов ˆ
Σ формально допустимо координатное представление
(1.3).
Тем не менее, в ряде случаев для спина удобным оказывается не координатное,
а матричное Σz-представление. Для определенности рассмотрим
оператор спина фотона (s = 1). В Σz-представлении операторы
его проекций имеют вид:
Σx = 1
ˆ
√2
0 1 0
1 0 1
0 1 0
; ˆ
Σy = 1
√2
0 −i 0
i 0 −i
0 i 0
; ˆ
Σz =
1 0 0
0 0 0
0 0 −1
.
(Рекомендуем самостоятельно проверить для них коммутационные соотношения
(1.1)). Эти операторы действуют в пространстве спиноров —
столбцов из 3 чисел. Аргумент таких функций дискретен. В качестве
него может выступать номер элемента в спиноре либо однозначно соответствующее
ему собственное значение Σz. Матричное представление
иногда называется спинорным представлением. Приведем здесь собственные
функции ˆ
ствуют собственным значениям ˆ
χ+1 =
1
0
0
Σz в спинорном представлении (индексы соответΣz):
; χ0 =
0
1
0
; χ−1 =
0
0
1
.
8
Стр.8