Задачи на арифметическую прогрессию Формулы для справок 8.2. <...> Если сократить обе части уравнения на y, то можно ++ + =224 квадрат, получаем: yy 24 потерять корень уравнения y = 0. <...> Найти все значения a, при которых сумма корней уравнения x2– 2a(x – 1) – 1 = 0 равна сумме квадратов корней. <...> Определить скорость катера в стоячей воде и скорость течения. <...> Пусть x — скорость катера в стоячей воде, а y — скорость течения реки (км/ч). <...> Тогда (x + y) — скорость катера по течению реки, а (x – y) — скорость катера против течения (км/ч). <...> В куске сплава массой 6 кг содержится медь. <...> В куске другого сплава массой 8 кг содержится медь в ином процентном отношении, чем в куске первого сплава. <...> Ответ можно получить и в другой форме, например, логарифмируя обе части уравнения по основанию 10: x lg 2 = lg 5, откуда x = lg lg Ответ: {log2 5}. <...> В данном уравнении необходимо сделать проверку, так как в процессе решения расширилась ОДЗ уравнения (ОДЗ исходного уравнения [– 1, +∞), а полученного в конце решения (–∞, +∞)), и мы возводили обе части уравнения в квадрат. <...> Проверка показывает, что x = 24 — корень уравнения, а x = 0 — посторонний корень. <...> Так, если loga xb тельным числом, а bx a = , то x может быть только положи= log любым действительным числом. <...> Если единственной причиной появления посторонних корней является расширение ОДЗ, то вместо проверки полученных корней можно найти ОДЗ уравнения и выяснить, входят ли в нее эти корни. <...> В результате корень уравнения x = –10 оказался потерянным. <...> Чтобы в процессе решения уравнений не потерять его корни, рекомендуется отказываться от таких преобразований, которые могут сузить ОДЗ уравнения. <...> Проверка показывает, что x1 = 0,5 — посторонний корень, а x2 = = 6 — корень данного уравнения. <...> Если числитель и знаменатель не содержат большого количества множителей, решение неравенства можно свести к решению системы линейных неравенств. <...> В этом случае квадратный трехчлен имеет два различных корня x1 <...>
Математика_для_поступающих_в_экономические_вузы._9-е_изд.,_перераб._и_доп._Учебное_пособие._Гриф_МО_РФ._Гриф_УМЦ_Профессиональный_учебник._Гриф_НИИ_образования_и_науки..pdf
УДК 51(076.1)
ББК 22.1ÿ727-1
Ê79
Авторы:
Í.Ø. Кремер (ïðåäèñëîâèå, ãë. 1, 2 (§ 2.6), 3, 4, 5 (§ 5.10), 6—8, 10—17),
Î.Ã. Константинова (ãë. 5 (êðîìå § 5.10), Ì.Í. Фридман (ãë. 2 (êðîìå § 2.6), 9)
Рецензент:
кафедра высшей математики Московского государственного университета
экономики, статистики и информатики
(зав. кафедрой проф. В.А. Никишкин)
Главный редактор издательства Н.Д. Эриашвили,
кандидат юридических наук, доктор экономических наук, профессор,
лауреат премии Правительства РФ в области науки и техники
Кремер, Наум Шевелевич.
Математика для поступающих в экономические вузы.
К79 Подготовка к Единому государственному экзамену и
вступительным испытаниям: учеб. пособие для вузов /
[Í.Ø. Êðåìåð, Î.Ã. Константинова, Ì.Í. Ôðèäìàí]; под
ðåä. Í.Ø. Êðåìåðà. — 9-å èçä., ïåðåðàá. и äîï. — Ì.:
ÞÍÈÒÈ-ÄÀÍÀ, — 615 ñ.
I. Константинова, Ольга Григорьевна.
II. Фридман, Мира Нисоновна.
ISBN 978-5-238-02277-2
Агентство CIP РГБ
Цель пособия — оказать помощь абитуриентам при подготовке к ЕГЭ,
вузовским вступительным испытаниям (включая дополнительные) и олимпиадам
по математике.
В девятое издание пособия включены дополнительно 17 тестов ЕГЭ
(216 тестовых çàäàíèé) за 2010—2012 ãã., составленных по новой версии ЕГЭ
по математике.
В части I пособия каждая глава содержит справочный материал и методические
рекомендации, задачи с решениями и для самостоятельной работы.
В части II приведены рекомендации по подготовке к ЕГЭ и вступительным
испытаниям и более 190 тестов (с решениями более 110 тестовых заданий
групп В и С) и заданий различной сложности, предлагавшихся на ЕГЭ
(2001—2012) и на вступительных испытаниях в ВЗФЭИ и другие экономические
вузы. В приложениях даны Программа по математике для поступающих
в вузы и содержание тестовых заданий ЕГЭ.
Большое число задач (около 3300) и удачная структура пособия позволяют
использовать его не только для контроля знаний, но и для обучения навыкам
решения конкурсных задач.
Для абитуриентов, слушателей подготовительных отделений и курсов.
ББК 22.1ÿ727-1
ISBN 978-5-238-02277-2
© Í.Ø. Êðåìåð, Î.Ã. Константинова, Ì.Í. Ôðèäìàí, 1996, 1998, 2001, 2003, 2004,
2006, 2008, 2010, 2012
© ИЗДАТЕЛЬСТВО ÞÍÈÒÈ-ÄÀÍÀ, 1996, 1998, 2001, 2003, 2004, 2006, 2008, 2010, 2012
Принадлежит исключительное право на использование и распространение издания
(ÔÇ ¹ 94-ÔÇ от 21 июля 2005 ã.)
© Оформление «ÞÍÈÒÈ-ÄÀÍÀ», 2010, 2012
Стр.3
Оглавление
Предисловие
Часть I. АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА.
ГЕОМЕТРИЯ
Глава 1. Арифметические вычисления
Преобразование алгебраических выражений
Формулы для справок
1.1. Арифметические вычисления
1.2. Преобразование рациональных выражений
1.3. Действия над радикалами
1.4. Действия над абсолютными величинами
1.5. Действия с дробными степенями
1.6. Задачи для самостоятельного решения
Глава 2. Алгебраические уравнения и системы уравнений
Формулы для справок
2.1. Линейные уравнения
2.4. Системы алгебраических уравнений
2.5. Задачи для самостоятельного решения
2.6. Решение уравнений в целых числах
Глава 3. Задачи на составление уравнений
3.1. Задачи на пропорциональное деление
3.2. Задачи на проценты
3.3. Задачи на сплавы и смеси
3.4. Задачи на числа
3.5. Задачи на движение
3
9
11
12
12
13
15
20
25
27
29
33
33
34
2.2. Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к ним 35
2.3. Иррациональные уравнения
42
47
50
55
57
57
58
61
63
64
Стр.4
3.6. Задачи на работу
3.9. Задачи для самостоятельного решения
Глава 4. Показательные и логарифмические уравнения
4.1. Показательные уравнения
4.2. Логарифмы
Формулы для справок
4.3. Логарифмические уравнения
4.4. Задачи для самостоятельного решения
Глава 5. Неравенства алгебраические
5.1. Линейные неравенства
5.2. Системы линейных неравенств
5.3. Дробно-рациональные неравенства
5.4. Квадратные неравенства
5.5. Неравенства, содержащие неизвестное
под знаком абсолютной величины
5.6. Показательные и логарифмические неравенства
5.7. Иррациональные неравенства
5.8. Применение неравенств к исследованию
уравнений и систем
5.9. Задачи для самостоятельного решения
5.10. Обобщенный метод интервалов
65
3.7. Задачи на плановое и фактическое выполнение задания 67
3.8. Разные задачи
68
69
75
75
81
81
85
91
95
95
96
98
100
103
104
107
111
113
120
Глава 6. Преобразование тригонометрических выражений 125
Формулы для справок
125
6.1. Основные соотношения между
тригонометрическими функциями одного угла
6.2. Формулы приведения
6.3. Формулы сложения и кратных углов
6.5. Вычисление без помощи таблиц
6.6. Задачи для самостоятельного решения
4
128
130
132
6.4. Преобразование суммы тригонометрических
функций в произведение и обратное преобразование 139
142
143
Стр.5
Глава 7. Тригонометрические уравнения и неравенства
Формулы для справок
7.1. Обратные тригонометрические функции
7.2. Простейшие тригонометрические уравнения
7.3. Тригонометрические уравнения
7.4. Задачи для самостоятельного решения
7.5. Тригонометрические неравенства
Глава 8. Прогрессии. Соединения и бином Ньютона
8.1. Задачи на арифметическую прогрессию
Формулы для справок
8.2. Задачи на геометрическую прогрессию
Формулы для справок
8.3. Смешанные задачи на прогрессии
8.4. Соединения
Формулы для справок
8.5. Бином Ньютона
Формулы для справок
8.6. Задачи для самостоятельного решения
Глава 9. Планиметрия
Справочный материал
9.1. Треугольники
9.2. Окружность и круг
9.3. Четырехугольники
9.4. Задачи для самостоятельного решения
9.5. Разные задачи (ñ решениями)
Глава 10. Стереометрия
Справочный материал
10.1. Параллельность и перпендикулярность
прямых и плоскостей. Двугранные и многогранные
углы
10.2. Многогранники
5
233
236
148
148
149
152
155
167
170
174
174
174
175
175
177
178
178
183
183
185
190
190
194
203
206
210
218
230
230
Стр.6
10.3. Круглые тела
10.4. Задачи с применением тригонометрии
10.5. Разные задачи
Глава 11. Производная и ее применение
Формулы для справок
11.1. Производная функции, ее геометрический
и механический смысл
11.2. Применение производной
Глава 12. Задачи с параметрами
12.1. Решение уравнений, систем уравнений и
неравенств с параметрами
12.2. Задачи с условиями
Глава 13. Функции и графики
13.1. Общие свойства функций
13.2. Основные приемы построения графиков функций
13.3. Графическое решение уравнений и систем
13.4. Построение усложненных графиков
240
242
249
256
256
256
263
276
276
282
291
291
296
302
304
Глава 14. Векторы и метод координат
Справочный материал
14.1. Линейные операции над векторами.
Скалярное произведение векторов
14.2. Применение векторов и метода координат
к решению геометрических задач
Глава 15. Первообразная и интеграл
Формулы для справок
15.1. Нахождение первообразной и интеграла
15.2. Вычисление площадей фигур с помощью интеграла
307
307
309
314
321
321
322
326
6
Стр.7
Часть II. ТЕСТЫ ЕГЭ И ВСТУПИТЕЛЬНЫЕ
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ЗАДАНИЯ
Глава 16. Варианты заданий на вступительных испытаниях
(экзаменах, тестировании) по математике
16.1. Выполнение письменных экзаменационных
работ на вступительных экзаменах
по математике
16.2. Варианты письменных работ на вступительных
экзаменах по математике
Всероссийский заочный финансово-экономический
институт (ВЗФЭИ)
1-й уровень сложности
2-й уровень сложности
16.3. Варианты заданий для вступительного испытания
по математике во ВЗФЭИ
1-й уровень сложности
16.4. Особенности формулировок заданий по математике
при тестовом контроле
16.5. Варианты заданий по математике
на вступительных экзаменах и тестировании
в различных экономических вузах
Московский государственный университет
им. М.В. Ломоносова (экономический факультет)
Российская экономическая академия
им. Г.В. Плеханова
331
332
332
336
336
336
346
370
370
377
379
379
384
Финансовый университет при Правительстве РФ 385
Государственный университет управления (ГУУ)
387
Московский государственный институт
международных отношений (университет) МИД РФ 389
Московский государственный университет экономики,
статистики и информатики (МЭСИ)
393
Государственный университет — Высшая школа
экономики
Глава 17. Единый государственный экзамен (ЕГЭ)
17.1. Тесты (контрольно-измерительные материалы)
на ЕГЭ
17.2. Тестовые задания группы В с кратким (числовым)
ответом и их решения
7
394
399
401
467
Стр.8
17.3. Тестовые задания группы С с развернутым
ответом и их решения
17.4. Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012
Приложения
Приложение 1. Программа по математике
для поступающих в высшие учебные заведения
Приложение 2. Содержание разделов школьного курса
математики, усвоение которых проверяется
на едином госэкзамене
Приложение 3. Таблица перевода первичных баллов
в тестовые баллы на едином госэкзамене
по математике в 2010 и 2011 ã.
510
568
572
572
577
580
Ответы 581
8
Стр.9