Министерство образования и науки Российской Федерации
ФГБОУ ВПО «Тульский государственный педагогический
университет им. Л. Н. Толстого»
И. В. Денисов, Т. Ю. Денисова,
Н. М. Исаева, В. А. Шулюпов
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Учебное пособие
Под редакцией И. В. Денисова
Тула
Издательство ТГПУ им. Л. Н. Толстого
2015
Стр.1
ББК 22.16я73
Д33
Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор И. М. Буркин
(Тульский государственный университет);
доктор физико-математических наук И. В. Добрынина
(Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого)
Денисов, И. В.
Введение в анализ математических моделей: Учеб. пособие /
Д33
И. В. Денисов, Т. Ю. Денисова, Н. М. Исаева, В. А. Шулюпов;
Под ред. И. В. Денисова. – Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та
им. Л. Н. Толстого, 2015. – 59 с.
ISBN 978-5-87954-912-6
Учебное пособие разработано в соответствии с программой дисциплин «Математические
модели и методы в технологии» и «Математические модели
и методы в технологии и экономике». В каждый параграф кроме теоретических
положений включено большое количество примеров и задач, способствующих активному
усвоению материала. Представлено 25 вариантов индивидуальных заданий.
Пособие предназначено студентам высших учебных заведений, обучающимся
по специальностям 35.03.06 «Агроинженерия» (профиль «Технические
системы в агробизнесе»), 38.03.01 «Экономика», 38.03.02 «Менеджмент», 43.03.01
«Сервис» (профили «Сервис инженерных систем гостинично-ресторанных, туристических
и спортивных комплексов»), «Сервис недвижимости», «Сервис транспортных
средств», 44.03.05 «Педагогическое образование» (профили «Технология»
и «Экономика»).
ББК 22.16я73
ISBN 978-5-87954-912-6
И. В. Денисов, Т. Ю. Денисова, Н. М. Исаева,
В. А. Шулюпов, 2015
ТГПУ им. Л. Н. Толстого, 2015
Стр.2
Введение
Предлагаемое учебное пособие открывает цикл пособий по курсу
«Математические модели и методы в технологии». Математические
модели представляют собой формализованное отражение реальных
процессов природы и общества. Развитие процесса можно характеризовать
положением, скоростью и другими изменяющимися параметрами.
Для отражения подобных зависимостей существует понятие функции
– основного объекта «Математического анализа». Основной операцией
изучения функций является предельный переход или понятие
бесконечно малой величины. Открывает изучение математического
анализа тема «Введение в анализ», основная для всех последующих
курсов. Далее изучается дифференциальное и интегральное исчисления,
теория рядов, дифференциальные и интегральные уравнения,
функциональный анализ и т. д.
В отличие от известных учебников в предлагаемом пособии выделяются
основные положения и принципы теории и практики математического
анализа. Например, во введении в анализ выделяется
представление функции вблизи её значения в виде суммы числа и бесконечно
малой относительно этого числа добавки. В дифференциальном
исчислении бесконечно малая добавка представляется как сумма
линейной функции и бесконечно малой относительно этой функции
добавки. Оказывается, что бесконечно малые добавки можно уточнять
до любой степенной функции. Получается представление нелинейной
функции с помощью суммы числа, линейной, квадратичной, кубической
и т. д. функций.
Вчерашний школьник испытывает значительные трудности при
адаптации к университетскому обучению. Предлагаемое учебное пособие
призвано сгладить процесс адаптации, в связи с чем, наряду
с традиционными темами предела и непрерывности функций пособие
содержит материал школьного курса математики. В частности, приводятся
сведения об основных элементарных функциях и их графиках,
составляющих основу изучения «Математического анализа». Это оправдано
тем, что, к сожалению, выпускники школ недостаточно подготовлены
в этом направлении. Авторы надеются, что пособие будет
способствовать упорядочению начальных знаний в области математического
анализа как аппарату изучения математических моделей.
Каждый из авторов внес свой вклад в написание предлагаемого
пособия. Считаем, что совместная работа творческого коллектива
окажется полезной для повышения уровня математического образования
студентов.
3
Стр.3
§ 1. Множество действительных чисел
§ 1. Множество действительных чисел
Обозначения:
– множество натуральных чисел,
– множество целых чисел,
– множество рациональных чисел,
– множество действительных чисел.
– для любого,
– существует,
: – равно по определению.
Действительные числа: – множество чисел, для которых
выполняются
1) аксиомы сложения;
2) аксиомы умножения;
3) дистрибутивность умножения относительно сложения;
4) аксиомы порядка;
5) аксиома непрерывности.
Первые четыре группы аксиом подробно рассматриваются в курсе
алгебры.
Аксиома непрерывности действительных чисел: если A и B –
непустые подмножества множества действительных чисел такие,
что для любых элементов a A и b B выполняется неравенство
a b , то существует такой элемент c , что для любых элементов
a A и b B выполняется неравенство a c b
.
Аксиома непрерывности, в частности, позволяет установить взаимно
однозначное соответствие между множеством действительных
чисел и точками числовой оси.
ство действительных чисел, дополненное двумя символами . Под
символом понимают или .
снизу, если
Грани множеств. Множество E называется ограниченным
m x E x m
(число m называется нижней гранью множества E ).
и снизу и сверху.
4
Множество E называется ограниченным сверху, если
M x E x M
(число M называется верхней гранью множества E ).
Множество E называется ограниченным, если оно ограничено
Расширенное множество действительных чисел – это множе
Стр.4
§ 1. Множество действительных чисел
пишут m inf E
Число m называется точной нижней гранью множества E ,
, если
1) x E x m
пишут M supE
;
2) 0 x E x m
1) x E x M
;
2) 0 x E x M
пишут minm E , если
x E x m .
1) m E ;
2)
пишут M max E , если
x E x M .
1) M E ;
2)
та нет, inf 0E , max sup 1
Пример. Рассмотрим множество E (0,1] . Наименьшего элеменE
E .
Множество действительных чисел обладает свойством полноты,
которое выражается следующим предложением.
Теорема. Всякое непустое ограниченное сверху множество имеет
точную верхнюю грань. (Всякое непустое ограниченное снизу
множество имеет точную нижнюю грань.)
Принцип математической индукции. Утверждение ( )A n считается
верным для любого n n m , если
,
1) ( )A m – верно;
2) из предположения, что ( ),A k k m , верно, следует верность
A ( 1)k .
По принципу математической индукции можно доказать, например,
неравенство Бернулли
(1 ) 1 ,
1.
x
это величина
n
nx n ,
,
,
x
Модуль (или абсолютная величина) действительного числа a –
a a если a 0
a если a 0
5
.
Число M называется наибольшим элементом множества E ,
.
Число m называется наименьшим элементом множества E ,
.
Число M называется точной верхней гранью множества E ,
, если
Стр.5
§ 1. Множество действительных чисел
Геометрически модуль действительного числа означает расстояние
на числовой оси соответствующей точки до нуля. Модуль разности
двух чисел – это расстояние между соответствующими точками
числовой оси.
Свойства модуля:
1) a a ;
2) ab a b
;
3) a b эквивалентно b a b b
;
.
4) a b a b
a b a b
5)
a b a b
1 1 2 2
, , , , , , ,
,
a b , удовлетворяющих условию
n n
a b a b a b
1 1
2 2
,
n , n
Принцип вложенных отрезков Кантора. Для всякой системы
вложенных отрезков существует хотя бы одно действительное число,
принадлежащее всем отрезкам системы.
Система вложенных отрезков называется стягивающейся, если
длины отрезков стремятся к нулю:
0
.
N
n N b an
n
n
Теорема. Для всякой стягивающейся системы вложенных отрезков
существует единственная общая точка.
Система вложенных отрезков – это совокупность отрезков
;
, 0
6
Стр.6
§ 2. Основные элементарные функции
§ 2. Основные элементарные функции
Функцией
f : X Y называется закон, по которому каждому
элементу x из множества X ставится в соответствие единственный элемент
y из множества Y.
Функцию принято записывать в виде
y f x
во X называется областью определения функции: X D . Множество
Y называется множеством значений функции: Y E . Графиком
f
функции :f X Y называется множество упорядоченных пар точек
f
x y x X y f x .
,
,
В средней школе изучаются основные элементарные функции:
1) постоянная функция y c ;
2) степенные функции
y x
,
;
3) показательные функции y a a a
5) тригонометрические функции
и y ctg x ;
6) круговые (обратные тригонометрические) функции y arcsin x ,
y arccos x , y arctg x и y arcctg x .
График постоянной функции представлен на рис. 1.
4) логарифмические функции y log , 0, 1
y sin x
;
a x a a
x , 0, 1
;
,
y cos x ,
y tg x
( ) , x X . Множестf
Рис.
1
Поведение графика степенной функции определяется величиной
показателя : 1 или 0 1 . Например, поведение графиков
функций y x x, 0,
и y x x представлено на рис. 2.
2
1/2
, 0,
7
Стр.7
§ 2. Основные элементарные функции
Рис. 2
Функции :f X Y и :g Y X называются взаимно обратными,
если выполняются условия:
1) для любого x X значения ( ( ))
2) для любого y Y значения ( ( ))
2
Функции
x y y, 0
ратными. Функцию
2
y x x, 0,
и y x x являются взаимно об1/2
график
функции y x x, 0
g f x x ;
g f y y .
, 0,
1/2
. Поэтому графиком функции
2
y x x можно представить в виде
1/2
, 0,
y x x , является
, 0
, если оси координат OX и OY поменять
местами. Расположение графиков взаимно обратных функций хара ктеризуется
симметрией относительно прямой y x . Для взаимно
обратных функций сохраняется характер монотонности: возрастание,
либо убывание.
Некоторые степенные функции определены на всей числовой
оси, например, функция
( )
( )
функция нечетная, т. к.
ций y x x
2
, 0 , и
y x также определена на всей числовой оси. Эта
( ) ( )
3
y x x
1/2
y x . Эта функция четная, т. к.
2
f x f x . Её график называется параболой, он симметричен относительно
оси OY (см. рис. 3а).
Функция
f x f x . Ее график называется кубической
параболой, он симметричен относительно точки O (см. рис. 3б).
Степенные функции при
ми. Их графики симметричны относительно прямой y x
8
0 можно рассмотреть на примере функ,
0 , которые являются взаимно обратны(см.
рис. 4).
Стр.8
§ 2. Основные элементарные функции
Рис. 3а
Рис. 3б
Рис. 4
Функция y x 1
определена на множестве \ 0 . Её график называется
гиперболой, он симметричен относительно прямых y x
и y x . Обратной является сама функция
y x 1
(см. рис. 5).
Поведение графика показательной функции определяется величиной
основания:
Показательные функции определены на всей числовой оси.
a 1 или 0 1a . Например, графики функций
y 2x и y 1 / 2 x
сительно оси OY.
представлены на рис. 6, они симметричны отно9
Стр.9
§ 2. Основные элементарные функции
Рис. 5
рифмических функций. Функцию y loga
y
ции x a , если оси координат OX и OY поменять местами. Логарифx
0 . Графики функций y log x и y log x 1/2
x a . Поэтому графиком функции y loga
y
2
симметричны относительно оси OX (см. рис. 7).
Рис. 6
Функции, обратные для показательных, составляют класс лога
x
можно представить в виде
x является график функмические
функции определены на множестве значений показательных
функций, т. е. при
Рис. 7
10
Стр.10