МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ИЖЕВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ» УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе профессор П.Б. Акмаров _________ «___»___________2014 г. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПРАКТИКУМ для студентов, обучающихся по направлениям бакалавриата в сельскохозяйственном вузе Составитель: С.Я. Пономарева Ижевск ФГБОУ ВПО Ижевская ГСХА 2014 УДК 519.21 [076.5] ББК 22.171. <...> Практикум рассмотрен и рекомендован к изданию редакционноиздательским советом ФГБОУ ВПО Ижевская ГСХА, протокол № ___ от «____» _______ 2014 г. Рецензент: О.В.Кузнецова – ст.преподаватель кафедры высшей математики ФГБОУ ВПО Ижевская ГСХА Составитель: С.Я. Пономарева – канд. экон. наук, доцент кафедры высшей математики Т 33 Теория вероятностей :практикум /Сост. <...> Сколькими способами возможно выпадение герба и решки? <...> Сколько возможно исходов при бросании: а) трех монет; б) четырех монет; в) двух игральных костей; г) одной монеты и одной игральной кости; д) трех игральных костей? <...> Тогда величину N w A M)( называют относительной частотой или частостью события А. <...> При увеличении числа опытов N частость этому на практике считают N Р А w A M ( ) ( ) . <...> Введем событие А – из урны извлечен белый шар. <...> Из них 3 белых шара, поэтому т 3 (число благоприятствующих исходов). <...> Какова вероятность того, что оно содержит хотя бы одну цифру 5? <...> Обозначим событие А – задуманное (выбранное наугад) число содержит хотя бы одну цифру 5. <...> Образуют ли полную группу следующие события: а) опыт – бросание монеты; события: А1 – появление герба, А2 – появление цифры; б) опыт – бросание двух монет; события: В1– появление двух гербов, В2 – появление двух цифр; в) опыт – бросание двух монет; события: С1– герб появился хотя бы один раз, С2– герб не появился ни разу? <...> Являются ли несовместными следующие события: а) опыт – бросание монеты; события: А1 – появление герба <...>
Теория_вероятностей_практикум..pdf
УДК 519.21 [076.5]
ББК 22.171.я73
Т 33
Практикум разработан на основании требований Федеральных Государственных
образовательных стандартов высшего профессионального образования.
Практикум рассмотрен и рекомендован к изданию редакционноиздательским
советом ФГБОУ ВПО Ижевская ГСХА, протокол № ___ от «____»
_______ 2014 г.
Рецензент:
О.В.Кузнецова – ст.преподаватель кафедры высшей математики ФГБОУ
ВПО Ижевская ГСХА
Составитель:
С.Я. Пономарева – канд. экон. наук, доцент кафедры высшей математики
Т
33
Теория вероятностей :практикум /Сост. С.Я. Пономарева. – Ижевск:
ФГОУ ВПО Ижевская ГСХА, 2014. – 147 с.
Пособие содержит теоретический материал, разбор типовых задач, задачи
для аудиторного и самостоятельного решения, вопросы и задачи для
подготовки к коллоквиуму и экзамену, а также итоговые тесты по курсу
теории вероятностей. В приложениях имеются таблицы значений функций,
необходимые для решения задач по теории вероятностей.
Практикум предназначен для студентов-бакалавров, обучающихся на
всех направлениях, реализуемых в сельскохозяйственном вузе.
УДК 519.21[076.5]
ББК 22.171.я73
© ФГБОУ ВПО Ижевская ГСХА, 2014
© Пономарева С.Я., составление, 2014
2
Стр.2
СОДЕРЖАНИЕ
Введение………………………………………………………………………………
Часть 1. Случайные события……………………………………………………..
1 Комбинаторика……………………………………………………………………...
2 Классическое, статистическое и геометрическое определение
вероятности события. Непосредственный подсчет вероятности…………………
3 Теоремы сложения и умножения вероятностей……………….…………………
5.2 Наивероятнейшее число появлений события в независимых
испытаниях…………………………………………………………………………..
……4
…...…5
….….5
….10
….20
4 Полная вероятность. Формулы Байеса (Бейеса)……………...…………………. ….28
5 Повторные независимые испытания……………………………………………..
5.1 Основные формулы………………………………………………………………
5.3 Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности
в независимых испытаниях…………………………………………………………..
Часть 2. Случайные величины…………………………………………………..
1 Дискретные случайные величины………………………………………………..
2 Непрерывные случайные величины………………………………………………
….42
….44
….48
….48
….61
3 Частные виды распределений непрерывных случайных величин…………… ….75
3.1 Нормальное распределение…………………………………………………… ….75
3.2 Показательное распределение………………………………………………… ….86
3.3 Равномерное распределение………………………………………………….. ….91
4 Закон больших чисел……………………………………………………………. ….97
5 Цепи Маркова……………………………………………………………………. …106
Список использованной литературы………………………………………….. …110
Приложения……………………………………………………………………….
….111
….36
….36
3
Стр.3