МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЛАБОРАТОРНЫЕ ЗАНЯТИЯ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ: ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ Часть I. <...> Теория Учебно-методическое пособие Составители: В. В. Корзунина, К. П. Лазарев, З. А. Шабунина Воронеж Издательский дом ВГУ 2014 Утверждено научно-методическим советом факультета прикладной математики, информатики и механики 20 марта 2014 г., протокол №7 Рецензент: доцент кафедры математического обеспечения ЭВМ Воронежского госуниверситета Горбенко О.Д. <...> Алгебраическое интерполирование и основные интерполяционные формулы . <...> Настоящее учебно-методическое пособие в части I содержит краткое конспективное изложение лекционного материала, а также включает теоретические материалы, передаваемые студентам для самостоятельного изучения; дает описание основных вычислительных алгоритмов и рекомендации к их практическому использованию; учит грамотно составлять тестовые и демонстрационные примеры. <...> АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И ОСНОВНЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ Пусть заданы точки x x0 , 1 точках. <...> Функция f ( )x , по значениям которой строится интерполяционный многочлен, называется интерполируемой функцией. <...> Разрешимость задачи алгебраического интерполирования Имеет место следующая теорема существования и единственности интерполяционного многочлена [1]. дающих, и значения f x( ), ( ),1 0 , n Теорема 1. <...> Пусть заданы узлы x x0 , 1 f x f xn , , среди которых нет совпа, x n выше n, принимающий в заданных узлах xk заданные значения k 0,1, . <...> Интерполяционный многочлен P ( )xn ствует один и только один многочлен P x P x f x x x ) степени не f x , , ( ) функции в этих узлах. <...> Тогда сущеn ( ) n ( , , 0 , 1, , n ( k ) допускает различные формы записи, наиболее употребительными являются записи интерполяционного многочлена в форме Лагранжа и в форме Ньютона. <...> 1 0,1, , i . задана в равноотстоящих <...>
Лабораторные_занятия_по_численным_методам_интерполирование_и_приближение_функций._Часть_1._Теория.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
ЛАБОРАТОРНЫЕ ЗАНЯТИЯ ПО ЧИСЛЕННЫМ
МЕТОДАМ: ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ
И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
Часть I. Теория
Учебно-методическое пособие
Составители:
В. В. Корзунина,
К. П. Лазарев,
З. А. Шабунина
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2014
Стр.1
Содержание
Введение.................................................................................................................4
§1. Алгебраическое интерполирование и основные интерполяционные
формулы ................................................................................................................5
1.1. Разрешимость задачи алгебраического интерполирования...............5
1.2. Интерполяционная формула Лагранжа................................................5
1.3. «Барицентрическая» форма многочлена Лагранжа............................9
1.4. Многочлены Эрмита ..............................................................................9
1.5. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона ...........................11
1.6. Остаточный член интерполирования.................................................13
1.7. О сходимости интерполяционных процессов ..................................14
1.8. Стандартная задача (программа) интерполирования .......................16
1.9. Уплотнение таблиц ..............................................................................17
§2. Локальное сглаживание сеточных функций ..............................................22
§3. Эмпирические формулы...............................................................................27
§4. О демонстрации работы программ..............................................................30
Список литературы .............................................................................................32
3
Стр.3
L x x j
n
( ) ( )
i
n
0 ,
1 ,
x xi
j
x x i, j ,n .
,
j
i
Многочлены Li( ) ( )x называются коэффициентами Лагранжа, а интерполяционный
многочлен P ( )xn
P x f x L x f x L x f x L x( ) ,
n ( )
L x ( ) (x x x x )1 (x xi1)(x xi1)(x xn )
i 0 )(
L ( )xn
n
i0
n ( )
f xi
(x x x x )1 (x xi1)(x xi1) i
0 )(
i
i
ных задачах свойствами.
Свойство 1. Пусть по заданным узлам
n
точке x:
( ) 1. (4)nL x
i
n
i0
нейной замены переменной x. Иными словами, если переменные x и t связаны
линейной зависимостью
имеют место равенства:
x at b
, причём x at b i
i
лучить расчетную формулу для вычисления
f ( )x
(1 , 1 8 , 1 2
Решение.
Функция
8 , 1 3
Пример. Функция f ( )x задана в точках xi
f (1 16 )5
i n .
1
0,1,
,
i
.
задана в равноотстоящих узлах
гранжа найдём линейное преобразование t x
6
8 ) . Для упрощения построения коэффициентов Лаx
,
переводящее узлы i
в узлы it с более простыми значениями, например, в узлы (–1, 0, 1, 2). Не8
,
L x L ti( )
i
( )
n ( ) n ( ),
(5)
i 0,1,2, 3 . ПоСвойство
2. Коэффициенты Лагранжа инвариантны относительно лиi
, 0,1 n , то
( )
i
совпадающих, построены коэффициенты Лагранжа Li( ) ( )x
Тогда сумма коэффициентов L i( ) ( )x
n
, , среди которых нет
и i 0,1, .
, x n
, n
тождественно равна единице в любой
(x xn )
:
( )
0
(0)
n
, записанный в виде
(1)
( )
( )
1
n ( )
(
n )
( )
n
n
называется интерполяционным многочленом в форме Лагранжа и обозначается
.
(3)
Коэффициенты Лагранжа обладают двумя полезными в вычислительx
x0 , 1
0,1,
Стр.6
трудно определить, что такое преобразование имеет вид t x 1 8
8
Кроме того, значению
16
x 1 5
три коэффициента Лагранжа (i)
L
L
(1)
3
(0)
3
2)
(3
2)
(3
L
L
(3)
3
2) 1
(3
(2)
3
t t
L3 (t), i 0,1,2 в точке
1 ( 2) ( 3)
( 1)( 2)
t
t
t( 1)( 1)( 2)
t
t
1 ( 1) ( 2)
2)
(3
(0)
3
t( 2)
t
( 1)
2)
(3
t
2 1 ( 1)
L
(1)
3
2)
(3
L
(2)
3
t
2
3
По свойству 1 коэффициентов Лагранжа:
L
L3 (1 16 )5
f x0
f x1
t
2
3
2
5
2
3
2
3
6
2
5
соответствует значение
2
t 3 :
2)
2 ( 1
1
2
2
16
2) 5
(3
.
Расчетная формула для вычисления f ( )x в точке
f (1 16 )5
f x2
гочлена L ( )xn
, имеет вид:
( ( ) 5 ( ) 15 ( ) 5 ( )) 16
16
1 5
ваться интерполяционной схемой Эйткена [1]. Опишем её.
Выражение
L x
01 ( )
( ,x f0 ), ( ,1x f1
0
. Выражение
f0
f1
x0 x
x1 x
x1 x 0
Lx L x x x
xx
012()
L 01 x x x
12
()
()
20
7
0
1
(6)
является многочленом первой степени, построенным по точкам
)
f x3
.
Если требуется найти не общее выражение интерполяционного мно,
а его значение при некотором значении x , удобно пользо
2)
2
( 1
1
2)
2 ( 1
3
16
1
,
16
5
16
15
.
,
.
2
t 3 . Вычислим
Стр.7
является многочленом второй степени. Вычислим его значения в узлах
2
x x x :
0 ,
1,
f 0
012 0
()
Lx L x x x f
xx
12 ()0
2 0
20
L012 x( )
Следовательно, L012 ( )x
2
L01(x )
f 2
2
2
x x2
0
0
x x0
f 2
.
гранжа второй степени, построенным по точкам ( ,0x f0 ), ( ,1x f1 ), ( ,x f 2 ) .
совпадает с интерполяционным многочленом Ла2
Аналогичным
образом легко показать, что интерполяционный многочлен
Лагранжа, построенный по точкам
зить через значения многочленов L012 1 ( ), 123n (x ) :
L012
n
L0123n ( )x
L123
n
n
1 (x )
(x )
x x 0
n
Отметим, что порядок точек и их нумерация не имеют значения.
Вычислительную схему Эйткена для получения значения интерполяционного
многочлена можно представить в виде таблицы 1, которая последовательно
заполняется по строкам:
i
0
1
2
3
4
x i
x 0
x 1
x 2
x 3
x 4
y i
y 0
y 1
y 2
y 3
y 4
x xi
x 0
x 1
x 2
x 3
x 4
x
x
x
x
x
L
L
L
L
01( )x
12 ( )x
23 ( )x
34 ( )x
L
L
L
012 ( )x
123 ( )x
234 ( )x
L
L
0123 ( )x
1234 ( )x
L ,1 i
i
L
i2,i 1, i
L
i3,i 2,i 1,
i
L
Таблица 1
i4,i 3,i 2,i 1,
i
x0
xn
x
x
. (7)
( ,x f0 ), ( ,1x f ),1 , (x f n ) можно выраx
L
0
n ,
0
0 ;
L012 x( )
1
f1
f1
2
x0
x2
x x0
x1
x1
f ;
1
L
01234 ( )x
… … … … … … … …
Интерполяционный процесс Эйткена характерен своим единообразием
и поэтому легко реализуется на ЭВМ. При численной реализации хранить
в памяти машины всю таблицу нет необходимости, так как для заполнения
некоторой (k + 1)-й строки таблицы используются значения только
предыдущей, k-й строки. Отметим, что использование схемы Эйткена позволяет
добавлять всё новые и новые точки ( , )i
i
8
x f без пересчёта всей таб
Стр.8