А. В. Виноградова УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ Москва 2014 УДК 514.113(076.1) ББК В49 Рецензент доктор педагогических наук, профессор И. М. Смирнова В49 Виноградова А. В. <...> Пособие будет полезно при организации устной работы на уроках, выполнении домашних заданий. <...> Основные понятия и аксиомы стереометрии и следствия из них. <...> Пособие будет полезно при организации устной работы на уроках, выполнении домашних заданий. <...> Сборник содержит занимательные факты, интересные сведения из истории развития математики и применения геометрии в различных областях человеческой деятельности. <...> Устная работа является одним из важнейших этапов урока, что имеет большое значение для всех участников образовательного процесса, так как она позволяет: • выяснить, насколько хорошо учащимися усвоен теоретический материал; • с помощью адекватного набора устных вопросов подготовить учащихся к восприятию нового учебного материала; • в удобной форме организовать повторение пройденного материала; • развивать сообразительность, смекалку, мышление учащихся. <...> Гуманитарные классы существуют уже достаточно долго, но трудностей, с которыми сталкивается учитель в таких классах, не становится меньше. <...> Учащиеся математических классов видят красоту математики в изящных, необычных, неожиданных решениях задач, доказательствах теорем. <...> По составу в математических классах больше мальчиков. <...> Поэтому в гуманитарных классах по возможности нужно включать интересные и занимательные вопросы, которые так или иначе связаны с математикой, вопросы по истории математики, ассоциации и аналогии между математическими и, например, литературными объектами, а также вопросы, связанные с проявлениями математики в природе и ее различными приложениями, красивыми математическими объектами. <...> В содержание устной работы в математических классах следует включать нестандартные, исследовательские, прикладные вопросы, вопросы научной и практической значимости <...>
Устные_упражнения_по_стереометрии.pdf
УДК 514.113(076.1)
ББК В49
Рецензент
доктор педагогических наук, профессор
И. М. Смирнова
В49
Виноградова А. В. Устные упражнения по стереометрии. –
М. Прометей, 2014. – 130 с.
Предлагаемый сборник содержит 720 разнообразных устных
упражнений. Пособие будет полезно при организации устной
работы на уроках, выполнении домашних заданий. Тематика и
содержание вопросов охватывают все темы курса геометрии
10–11-го классов. Материал сборника может быть использован
учителями при работе с любым учебником по геометрии.
ISBN 978-5-9905886-7-7
© А. В. Виноградова, 2014
© Издательство «Прометей», 2014
Стр.2
СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
I. НАЧАЛА СТЕРЕОМЕТРИИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
§ 1. Повторение курса планиметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
§ 2. Основные понятия и аксиомы стереометрии и следствия
из них. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
II. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
§ 3. Параллельные прямые в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
§ 4. Параллельность прямой и плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20
§ 5. Скрещивающиеся прямые. Взаимное расположение прямых
в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
§ 6. Параллельность плоскостей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
III. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ . . . . . . . . . . . .27
§ 7. Перпендикулярность прямой и плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
§ 8. Перпендикуляр и наклонные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
§ 9. Угол между прямой и плоскостью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
§ 10. Расстояния между точками, прямыми и плоскостями . . . . . . . .36
§ 11. Двугранный угол . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40
§ 12. Перпендикулярность плоскостей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
IV. МНОГОГРАННИКИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48
§ 13. Понятие многогранника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48
§ 14. Выпуклые многогранники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50
§ 15. Призмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52
§ 16. Пирамиды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55
§ 17. Теорема Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60
§ 18. Правильные многогранники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61
§ 19. Полуправильные многогранники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65
§ 20. Звездчатые многогранники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66
V. КРУГЛЫЕ ТЕЛА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68
§ 21. Сфера и шар. Взаимное расположение сферы
и плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68
§ 22. Цилиндр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73
§ 23. Конус . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76
VI. ОБЪЕМ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79
§ 24. Объем фигур в пространстве. Объем прямоугольного
параллелепипеда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79
§ 25. Объем призмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82
§ 26. Объем цилиндра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85
§ 27. Объем пирамиды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86
§ 28. Объем конуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90
3
Стр.3
§ 29. Объем шара и его частей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92
§ 30. Площадь поверхности многогранников . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95
§ 31. Площадь поверхности цилиндра, конуса, шара
и его частей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99
ОТВЕТЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129
Стр.4