В первых главах приводятся необходимые сведения по небесноймеханике, без знания которых невозможно браться за задачу управления в космосе. <...> Симплектическая группа и линейные гамильтоновы векторные поля . <...> Симплектические многообразия и гамильтоновы векторные поля . <...> Принцип максимума Понтрягина в его слабойверсии . <...> Введение в КАМ-теорию и в теорию устойчивости гамильтоновых систем . <...> Сохранение энергии, тождество Лагранжа и неравенство Сундмана . <...> Периодические траектории для задачиN тел в рамках гипотезы сильного потенциала . <...> Периодическое решение задачи трех тел равноймассы . <...> Геометрическое построение закона управления в задаче управления ориентациейтела и локальная управляемость . <...> Принцип максимума и субриманова задача с девиацией. <...> Принцип максимума Понтрягина, принцип максимума с ограничениями на состояния и синтез оптимальныхрешений 177 7.1. <...> Оптимальное управление и стабилизация в упрощенной трехмерноймодели . <...> Первая посвящена небесноймеханике, т. е. неуправляемому движению естественных и искусственных небесных тел, а вторая — управлению движением космических аппаратов, как поступательным, так и вращетельным. <...> Излагается принцип максимума Понтрягина, понятия о канонических преобразованиях и интегральных инвариантах Гильберта–Пуанкаре–Картана. <...> Далее обсуждаются понятия интегрируемости и устойчивости гамильтоновых систем, кратко излагается КАМ-теория. <...> Поэтому подробно рассматривается задача двух тел (интегрируемая полностью) и несколько менее подробно задача трех тел, свойства решений которой исследованы со значительно большейполнотой по сравнению со случаем произвольного N. <...> Вместе с тем, общими инструментами как для теории управления, так и для небесноймеханики являются симплектическая геометрия и теория гамильтоновых дифференциальных уравнений. <...> Таким образом вводится теория сопряженных точек и численные алгоритмы. <...> Симплектическая группа и линейные гамильтоновы векторные <...>
Небесная_механика_и_управление_космическими_летательными_аппаратами.pdf
УДК 521.1, 517.97
ББК 22.62 + 39.62/66
Б815
Боннар Б., Фобур Л., Треля Э.
Небесная механика и управление космическими летательными аппаратами.
— М.–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2014. — 344 с.
Как следует из названия, предлагаемая книга трех авторов посвящена теории
управления космическими аппаратами в околоземном пространстве. Однако в действительности
содержание монографии шире. Авторы последовательно излагают
основы современнойтеории управления механическими системами, движение которых
описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, содержащими
управляющие функции. В первых главах приводятся необходимые сведения
по небесноймеханике, без знания которых невозможно браться за задачу управления
в космосе. Поскольку управление в космосе осуществляется с ограниченной
точностью, далекойот так называемой астрономическойточности, рассматривается
нерелятивистская небесная механика. Теория применена к двум классам задач.
В первом рассматривается управление ориентациейкосмического аппарата, движение
центра масс которого предполагается известным. Во втором классе рассматривается
управление движением космического аппарата как материальнойточки с целью
перевести его с однойорбиты на другую, отвечающую задачам, для решения
которых запущен спутник.
Мы надеемся, что публикация этого труда будет полезнойдля специалистов
по управлению движением космических аппаратов, а также аспирантов и студентов
старших курсов соответствующего профиля.
ISBN 978-5-4344-0190-6
Translation from French language edition:
M´
ecanique c´
c
eleste et contrˆ
All Rights Reserved
АНО «Ижевскийинститут компьютерных исследований»,
перевод на рус. яз., 2014
c
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru
ole des v´
ehicules spatiaux
by Bernard Bonnard, Ludovic Faubourg and Emmanuel Tr´
elat
Springer Berlin Heidelberg, 2006
Springer Berlin Heidelberg is a part of Springer Science+Business Media
ББК 22.62 + 39.62/66
Стр.4
Оглавление
Предисловие к русскому переводу ..... ...... ...... . xi
Введение . ...... ...... ...... ...... ...... . xv
Часть I. Небесная механика
1.2. Внешние формы степени 2 и линейная симплектическая геометрия
.
. .
. .
. .
. .
. .
1
ГЛАВА 1. Симплектическая геометрия и канонические преобразования
. ...... ...... ...... ...... ...... . 3
1.1. Элементы внешнейалгебры и линейной симплектической
геометрии . .
. . ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 3
. . ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 4
1.3. Симплектическая группа .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. 5
1.3.1. Представление группы .. .. .. .. .. .. .. . . . . 6
1.3.2. Симплектическая группа и линейные гамильтоновы
векторные поля ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 6
1.3.3. Понятия симплектическойлинейной алгебры . . . . . 8
1.3.4. Устойчивость и структурная устойчивость . . . . . . . 11
1.4. Симплектические многообразия и гамильтоновы векторные
поля .
. .
. .
. .
. .
. . ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 13
1.4.1. Обозначения и определения .. .. .. .. .. ... .. 13
1.4.2. Координаты Дарбу . .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . 15
1.4.3. Симплектическое поднятие . .. .. .. .. .. ... .. 16
1.5. Симплектическая геометрия и вариационное исчисление . . . 17
1.5.1. Фундаментальная формула .. .. .. .. .. .. . . . . 17
1.5.2. Условия трансверсальности . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.3. Уравнения Гамильтона .. .. .. .. .. .. .. . . . . 19
1.5.4. Уравнение Гамильтона –Якоби .. .. .. .. .. . . . . 20
1.5.5. Принцип максимума Понтрягина в его слабойверсии . 21
1.5.6. Канонические преобразования . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6. Примечания и источники . .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . 29
Стр.5
vi
ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА 2. Некоторые свойства дифференциальныхуравнений Гамильтона:
интегрируемость и устойчивость .... ...... . 31
2.1. Интегрируемость . .. ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 31
2.1.1. Теорема о симлектическом выпрямлении . . . . . . . . 32
2.1.2. Теорема Нётер . ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 32
2.1.3. Метод интегрирования Якоби . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.4. Теорема интегрируемости для неавтономного линейного
случая .
. . ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 36
2.1.5. Теорема интегрируемости Лиувилля . . . . . . . . . . . 37
2.2. Устойчивость состояний равновесия; прямой метод Ляпунова 42
2.3. Теорема Лагранжа –Дирихле .. .. .. .. .. .. .. ... .. 47
2.4. Нормальные формы Пуанкаре –Дюлака .. .. .. .. ... .. 47
2.5. Нормальная форма гамильтоновойсистемы вблизи положения
равновесия .
. .
2.6. Введение в КАМ-теорию и в теорию устойчивости гамильтоновых
систем . .
. . ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 50
. . ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 52
2.6.1. Теория Флоке — гамильтонов случай. . . . . . . . . . 52
2.6.2. Отображение последования Пуанкаре — гамильтонов
случай.. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 53
2.6.3. Четырехмерный случай; применение к устойчивости . 55
2.6.4. Изоэнергетическая теорема КАМ-теории . . . . . . . . 56
2.6.5. Теорема устойчивости Арнольда . . . . . . . . . . . . . 57
2.7. Теорема Пуанкаре о возвращении . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.8. Примечания и источники . .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . 59
ГЛАВА 3. Введение в задачу N тел; случаи N =2 и N =3 ... . 61
3.1. Введение в задачу N тел . .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . 61
3.2. Классические первые интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2.1. Сохранение импульса .. .. .. .. .. .. .. ... .. 62
3.2.2. Сохранение кинетического момента . . . . . . . . . . . 63
3.2.3. Сохранение энергии, тождество Лагранжа и неравенство
Сундмана . ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 63
3.3. Однородность и теорема вириала . .. .. .. .. .. ... .. 65
3.4. Задача двух тел . .
. . ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 67
3.4.1. Сведение к относительному движению .. .. ... .. 67
3.4.2. Сведение к системе координат, связаннойс центром
масс .
. .
. .
. . ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 67
3.5. Движение в центральном поле .. .. .. .. .. .. .. . . . . 68
Стр.6
ОГЛАВЛЕНИЕ
vii
3.5.1. Закон площадей... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 69
3.5.2. Интегрирование уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.6. Задача Кеплера . .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 71
3.6.1. Эллиптическийслучай .. .. .. .. .. .. .. . . . . 73
3.6.2. Словарь небесноймеханики . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.6.3. Уравнение Кеплера . .. .. .. .. .. .. .. ... .. 73
3.7. Введение в задачу трех тел .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . 74
3.8. Работы Эйлера и Лагранжа по задаче трех тел . . . . . . . . . 75
3.9. Понятие центральнойконфигурации . . . . . . . . . . . . . . 77
3.9.1. Решения Лагранжа .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. 79
3.9.2. Теорема Эйлера –Мультона . .. .. .. .. .. ... .. 80
3.9.3. Координаты Якоби для задачи трех тел . . . . . . . . . 81
3.9.4. Ограниченная круговая задача . .. .. .. .. ... .. 82
3.10. Введение в задачу о столкновениях; работы Сундмана; регуляризация
двойных столкновений Леви-Чивиты . . . . . . . . 85
3.10.1. Изучение полных столкновений.. .. .. .. ... .. 86
3.10.2. Эвристическое представление регуляризации двойных
столкновенийв задаче трех тел .. .. .. ... .. 87
3.11. Примечания и источники . .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . 91
ГЛАВА 4. Поиск периодическихтраекторий ..... ...... . 93
4.1. Построение периодических траекторийметодом продолжения 94
4.2. Теорема центра Ляпунова –Пуанкаре в гамильтоновом случае 95
4.3. Применение к точкам либрации .. .. .. .. .. .. ... .. 96
4.4. Два примера применения метода продолжения в небесной
механике . .
. .
. .
. . ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 97
4.4.1. Орбиты Пуанкаре .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. 97
4.4.2. Орбиты Хилла . ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 98
4.5. Периодические решения и принцип наименьшего действия . 99
4.6. Прямойметод расчета вариаций и его применение для поиска
периодических траекторий.. .. .. .. .. .. .. . . . . 100
4.6.1. Введение .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 100
4.6.2. Уравнение Эйлера–Лагранжа на H1 .. .. .. . . . . 102
4.6.3. Полунепрерывные снизу функции и выпуклые функции102
4.6.4. Понятие сильного потенциала и существование периодических
траекторийдля задачи двух тел . . . . . . . 105
4.6.5. Периодические траектории для задачиN тел в рамках
гипотезы сильного потенциала . . . . . . . . . . . . . . 107
Стр.7
viii
ОГЛАВЛЕНИЕ
4.6.6. Ньютоновскийслучай .. .. .. .. .. .. .. ... .. 108
4.7. Периодическое решение задачи трех тел равноймассы . . . . 108
4.7.1. Описание орбиты «восьмерки» . .. .. .. .. ... .. 108
4.7.2. Геометрия задачи и топологическая сфера . . . . . . . 109
4.7.3. Построение траектории в форме восьмерки . . . . . . 112
4.7.4. Концепция хореографии . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.8. Примечания и источники . .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . 116
ГЛАВА 5. Управляемость в нелинейныхсистемахи задача управления
положением жесткого спутника . ...... ...... . 119
5.1. Управляемость системами с кусочно-постоянным управлением119
5.2. Управляемость жестким спутником с помощью реактивных
двигателей. . .
. .
. . ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 124
5.2.1. Уравнения движения .. .. .. .. .. .. .. ... .. 124
5.2.2. Задача выбора представления . . . . . . . . . . . . . . 127
5.2.3. Свойства траекторий свободного движения . . . . . . . 129
5.2.4. Необходимые и достаточные условия управляемости
жестким спутником .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . 131
5.3. Геометрическое построение закона управления в задаче
управления ориентациейтела и локальная управляемость . . 133
5.4. Локальная управляемость .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. 135
5.5. Управление ориентациейпосредством последовательных вращений..
.. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 138
5.6. Примечания и источники . .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . 140
ГЛАВА 6. Орбитальные перелеты ..... ...... ...... . 141
6.1. Введение .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 141
6.2. Моделирование задачи ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 141
6.3. Интеграл Лапласа и интегрирование уравненийКеплера . . . 142
6.4. Орбитальные параметры .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. 145
6.5. Разложение силы тяги . ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 146
6.6. Метод вариации постоянных . .. .. .. .. .. .. .. . . . . 147
6.7. Представление системы в равноденственных координатах . . 148
6.8. Вращающиеся координаты .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . 150
6.9. Задача управляемости . ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 150
6.9.1. Предварительные замечания .. .. .. .. .. ... .. 150
6.9.2. Структура алгебры Ли системы .. .. .. .. ... .. 151
6.9.3. Политика геометрического управления . . . . . . . . . 154
6.10. Орбитальныйпереход методом стабилизации . . . . . . . . . 155
Стр.8
ОГЛАВЛЕНИЕ
ix
6.10.1. ω-предельное множество и теорема устойчивости Ласалля
.. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 156
6.10.2. Стабилизация нелинейных систем применением теоремы
Ласалля: метод Джурджевича –Куинна . . . . . . 157
6.10.3. Доказательство асимптотическойустойчивости орбиты
(cT,LT ) методом Ласалля .. .. .. .. .. . . . . 158
6.10.4. Глобальная устойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.11. Принцип максимума и условия трансверсальности . . . . . . 160
6.12. Принцип максимума и субриманова задача с девиацией. . . 162
6.12.1. Общийрасчет экстремалей . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.12.2. Ломаные и особые экстремали . . . . . . . . . . . . . . 163
6.12.3. Π-сингулярность и ее нильпотентная модель . . . . . . 164
6.12.4. Применение к размерности 4 . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.13. Условия оптимальности второго порядка. Сопряженные и фокальные
точки .
. .
. . ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 172
6.13.1. Предварительные замечания .. .. .. .. .. ... .. 172
6.13.2. Применение к плоскому орбитальному переходу . . . 174
6.14. Примечания и источники . .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . 176
ГЛАВА 7. Принцип максимума Понтрягина, принцип максимума
с ограничениями на состояния и синтез оптимальныхрешений 177
7.1. Принцип максимума Понтрягина . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7.1.1. Формулировка . ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 178
7.1.2. Доказательство принципа максимума . . . . . . . . . . 179
7.1.3. Обобщение принципа максимума . . . . . . . . . . . . 192
7.2. Принцип максимума с ограничениями на состояние . . . . . . 196
7.2.1. Работы Вейерштрасса (1879 г.) . . . . . . . . . . . . . . 196
7.2.2. Метод множителейЛагранжа и теорема Куна –Таккера 202
7.2.3. Аффинныйслучай и принцип максимума Маурера . . 213
7.2.4. Локальная классификация синтезов минимальных времен
для задач с ограничениями .. .. .. .. ... .. 218
7.3. Замечания и источники ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 227
ГЛАВА 8. Управление траекторией полета в атмосфере ..... . 229
8.1. Моделирование задачи входа в атмосферу . . . . . . . . . . . 229
8.1.1. Описание задачи ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 229
8.1.2. Моделирование задачи .. .. .. .. .. .. .. . . . . 230
8.1.3. Силы .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 232
8.1.4. Система уравнений.. .. .. .. .. .. .. .. . . . . 233
Стр.9
xОГЛАВЛЕНИЕ
8.1.5. Координаты Кеплера . .. .. .. .. .. .. .. . . . . 234
8.1.6. Задача оптимального управления . . . . . . . . . . . . 236
8.1.7. Стратегия Харпольда и Грейвса . . . . . . . . . . . . . 237
8.1.8. Числовые параметры . .. .. .. .. .. .. .. . . . . 238
8.1.9. Понятие равновеснойтраектории . . . . . . . . . . . . 240
8.1.10. Редукция задачи. Упрощенная трехмерная модель . . . 241
8.2. Оптимальное управление и стабилизация в упрощенной
трехмерноймодели .. ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 242
8.2.1. Задача без ограничений.. .. .. .. .. .. .. . . . . 242
8.2.2. Задача с учетом ограниченийна состояние . . . . . . . 246
8.2.3. Стабилизация в окрестности номинальнойтраектории 250
8.3. Оптимальное управление в полнойзадаче .. .. .. ... .. 255
8.3.1. Экстремали задачи при отсутствии ограничений. . . . 257
8.3.2. Построение квазиоптимальнойтраектории . . . . . . . 261
8.4. Примечания и источники . .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . 266
ГЛАВА 9. Численные методы и оптимальное управление .... . 267
9.1. Введение .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 267
9.2. Методы первого порядка: простая и множественная пристрелка268
9.2.1. Предварительные замечания .. .. .. .. .. ... .. 268
9.2.2. Метод простойпристрелки . . . . . . . . . . . . . . . . 269
9.2.3. Метод множественнойпристрелки . . . . . . . . . . . . 271
9.2.4. Некоторые замечания .. .. .. .. .. .. .. ... .. 274
9.2.5. Метод продолжения .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . 275
9.2.6. Применение к задаче плоского орбитального перехода 279
9.2.7. Применение к задаче входа в атмосферу . . . . . . . . 286
9.3. Методы второго порядка: теория сопряженных точек . . . . . 288
9.3.1. Лагранжевы многообразия — уравнение Якоби . . . . . 288
9.3.2. Методы расчета сопряженных времен . . . . . . . . . . 291
9.3.3. Сопряженные времена и оптимальное управление . . . 292
9.3.4. Применение в задаче орбитального перехода . . . . . . 304
9.3.5. Сопряженные времена для аффинных систем управления
.. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 306
Литература ...... ...... ...... ...... ...... . 315
Предметный указатель ..... ...... ...... ...... . 321
Стр.10