ISBN 978-5-93972-664-1 Translation from the English language edition: Introduction to Vertex Operator Algebras and Their Representations by James Lepowsky, Haisheng Li c 2004 Birkh¨ Birkh¨ auser Boston auser is a part of Springer Science+Business Media All Rights Reserved c http://shop.rcd.ru Перевод на русский язык: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2008 ББК 22.144 Оглавление Предисловие . . . . . . . . . . . . . ix ГЛАВА 1. <...> Тождество Якоби как следствие коммутативности и ассоциативности . <...> Тождество Якоби как следствие косой симметрии и ассоциативности . <...> Вершинные подалгебры в E(W), связанные с алгеброй Вирасоро . <...> ) Вершинная операторная алгебра удовлетворяет нескольким аксиомам, не входящим в определение вершинной алгебры, но это относительно несущественный вопрос; как мы отмечаем во введении, имеется много полезных вариантов определения, в зависимости от интересующего нас контекста. <...> Трактовка в [DL3] на самом деле включала в себя случай вершинной (операторной) супералгебры, который сам был в действительности специальным случаем наиболее общей ситуации [DL3] — «обобщенных вершинных алгебр» и «абелевых сплетающих алгебр». <...> Структуры, подобные обобщенным вершинным алгебрам, также были введены и рассмотрены в [FFR] и [Mos1]. <...> Возник новый тип алгебр операторов, основанный на «операторном разложении» [W1] в квантовой теории поля и названный в [BPZ] «операторными алгебрами». <...> Точная структура алгебры Грисса B была продиктована ожидаемыми свойствами предполагаемого Монстра. <...> Алгебра Вирасоро была долгое время известна как фундаментальная «алгебра симметрий» в теории струн и конформной теории поля. <...> Определение алгебры Вирасоро дается ниже, в разделе 1.3, более подробно мы обсудим ее в основном тексте данной работы. <...> Во время «первой революции» в теории струн, начавшейся летом 1984 года [GSc], эта новая структура V в свою очередь оказалась интерпретирована в ретроспективе как неотъемлемо струнно-теоретическая структура — «киральная алгебра», лежащая в основе конформной теории поля нa Z-орбифолде, связанной с 24-мерной решеткой Лича, о чем также подробно <...>
Введение_в_вершинные_операторные_алгебры_и_их_представления.pdf
ББК22.144
УДК512
Л 484
Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского
фонда фундаментальных исследований по проекту
№07-01-07100.
Леповски Дж., Ли Х.
Введение в вершинные операторные алгебры и их представления. — М.–
Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных
исследований, 2008. — 424 с.
Предлагаемая книга является введением в относительно новую и малоизученную
область науки — теорию вершинных операторных алгебр, которая тесно связана
с такими областями физики и математики, как теория «monstrous moonshine» (понятие,
введенное в 1979 году Конвеем и Нортоном для характеристики удивительной
связи между группой Монстр и модулярными функциями), теория бесконечномерных
алгебр Ли и их представлений, теория струн, теория групп и т. д. С появлением
этой теории стало возможным сформулировать и попытаться решить новые задачи,
имеющие большое значение во многих областях, которые до этого считались не связанными
друг с другом. Данная книга систематически излагает теорию вершинных
(операторных) алгебр с самого начала, используя «формальное исчисление» и проводя
читателя через фундаментальную теорию к детальному построению примеров.
Подробно рассмотрены аксиоматические основы вершинных операторных алгебр,
описаны наиболее важные примеры таких алгебр, а также построены и классифицированы
их неприводимые модули.
Книга будет полезна аспирантам и исследователям в области математики и физики.
ISBN
978-5-93972-664-1
Translation from the English language edition:
Introduction to Vertex Operator Algebras and Their Representations
by James Lepowsky, Haisheng Li
c
2004 Birkh¨
Birkh¨
auser Boston
auser is a part of Springer Science+Business Media
All Rights Reserved
c
http://shop.rcd.ru
Перевод на русский язык:
НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2008
ББК 22.144
Стр.6
Оглавление
Предисловие . ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ix
ГЛАВА 1. Введение .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 1
1.1. Мотивировка . .... ... .... .... .... ... .... 1
1.2. Пример вершинного оператора . . . .... .... ... .... 6
1.3. Понятие вершинной операторной алгебры .... ... .... 10
1.4. Упрощение определения .. .... .... .... ... .... 15
1.5. Представления и модули . . .... .... .... ... .... 16
1.6. Построение семейств примеров .. .... .... ... .... 19
1.7. Некоторые дальнейшие продвижения ... .... ... .... 21
ГЛАВА 2. Формальное исчисление ... .. ... .. .. ... .. 25
2.1. Формальные ряды и формальная дельта-функция ... .... 25
2.2. Дифференцирования и формальная теорема Тейлора . .... 35
2.3. Разложения нуля и приложения .. .... .... ... .... 40
ГЛАВА 3. Алгебры вершинных операторов: аксиоматика .. .. 59
3.1. Определения и некоторые основные свойства . . ... .... 60
3.2. Свойства коммутативности .... .... .... ... .... 80
3.3. Свойства ассоциативности . .... .... .... ... .... 87
3.4. Тождество Якоби как следствие коммутативности и ассоциативности
.... .... ... .... .... .... ... .... 99
3.5. Тождество Якоби как следствие коммутативности ... .... 103
3.6. Тождество Якоби как следствие косой симметрии и ассоциативности
.... .... ... .... .... .... ... .... 105
3.7. S3-симметрия тождества Якоби .. .... .... ... .... 113
3.8. Итерационная формула и нормально-упорядоченные произведения
. .... .... ... .... .... .... ... .... 116
3.9. Другие элементарные понятия ... .... .... ... .... 120
3.10. Слабая нильпотентность и нильпотентность ... ... .... 125
3.11. Централизаторы и центр .. .... .... .... ... .... 129
3.12. Прямые и тензорные произведения вершинных алгебр .... 137
ГЛАВА 4. Модули . . . ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 144
4.1. Определение и некоторые следствия ... .... ... .... 145
4.2. Свойства коммутативности .... .... .... ... .... 149
Стр.7
viii
ОГЛАВЛЕНИЕ
4.3. Свойства ассоциативности . .... .... .... ... .... 152
4.4. Тождество Якоби как следствие свойств ассоциативности
и коммутативности .. ... .... .... .... ... .... 156
4.5. Другие элементарные понятия ... .... .... ... .... 158
4.6. Модули типа тензорного произведения для тензорных произведений
вершинных алгебр . . . .... .... ... .... 168
4.7. Вакуумподобные векторы .. .... .... .... ... .... 170
4.8. Присоединение модуля к вершинной алгебре . . . . . .... 174
ГЛАВА 5. Представления вершинных алгебр и построение вершинных
алгебр и модулей .. .. .. ... .. ... .. .. ... .. 177
5.1. Слабые вершинные операторы . . . .... .... ... .... 180
5.2. Действие слабых вершинных операторов на пространстве
слабых вершинных операторов . . . .... .... ... .... 185
5.3. Каноническая слабая вершинная алгебра E(W) иэквивалентность
модулей и представлений .... .... ... .... 191
5.4. Подалгебры в E(W) .. ... .... .... .... ... .... 199
5.5. Локальные подалгебры и вершинные подалгебры в E(W) . . 202
5.6. Вершинные подалгебры в E(W), связанные с алгеброй Вирасоро
.. .... .... ... .... .... .... ... .... 212
5.7. Общие теоремы о построении вершинных алгебр и модулей . 220
ГЛАВА 6. Построение семейств вершинных операторных алгебр
и модулей . ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 235
6.1. Вершинные операторные алгебры и модули, связанные с алгеброй
Вирасоро .... ... .... .... .... ... .... 237
6.2. Вершинные операторные алгебры и модули, связанные с аффинными
алгебрами Ли . . . .... .... .... ... .... 248
6.3. Вершинные операторные алгебры и модули, связанные с алгебрами
Гейзенберга .. ... .... .... .... ... .... 268
6.4. Вершинные операторные алгебры и модули, связанные с четными
решетками: основные определения . .... ... .... 279
6.5. Вершинные операторные алгебры, связанные с четными решетками:
основные результаты ... .... .... ... .... 296
6.6. Классификация неприводимых Lˆ
номерных простых g и положительных целых . ... .... 327
g(, 0)-модулей для конечЛитература
.. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 356
Предметный указатель ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 406
Стр.8