Аффинная классификация поверхностей уровня квадратичных функций . <...> Взаимное расположение прямой и поверхности второго порядка. <...> Попытка решить в полном объеме поставленный вопрос привела к необходимости дать удобное для использования функциональное определение векторного произведения, то есть сначала определить смешанное произведение. <...> Из этого уже автоматически вытекало желание ввести скалярное произведение через теорему косинусов. <...> Геометрия билинейной формы – это раздел математики, который постоянно и очень бурно развивается, поэтому подход к выбору излагаемого материала весьма сложен, и было отдано предпочтение сложившимся традициям. <...> Спектральная теорема для самосопряженного оператора в евклидовом конечномерном пространстве иллюстрирует основные положения функционального анализа и математической физики. <...> Теория внешних форм используется для построения теории криволинейного интеграла, и ознакомление с элементами алгебры кососимметрических тензоров крайне необходимо и достаточно геометрично. <...> К сожалению, в программах университетов почти совсем не уделяется внимания геометрии Лобачевского, в особенности ее элементарным проблемам. <...> Векторное пространство над полем действительных чисел Основное понятие аналитической геометрии – это понятие векторного пространства. <...> Заметим, что векторное пространство – это коммутативная группа относительно сложения векторов и поэтому, как и в произвольной коммутативной группе, сумма конечного количества векторов не зависит от порядка их α αβ αβ β α α α α α β β §1. <...> Основные аксиомы и определения 11 сложения и расстановки скобок. <...> Система векторов ai называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация ∑ = n i 1 i a , равная нулевому вектору. i Система векторов называется линейно независимой, если из того, что их линейная комбинация равна нулю, следует, что она тривиальна. <...> Из этих определений следует, что если к зависимой <...>
Лекции_по_аналитической_геометрии.pdf
УДК 512.8
Интернет-магазин
● физика
● математика
● биология
● нефтегазовые технологии
http://shop.rcd.ru
Оболенский А.Ю., Оболенский И.А.
Лекции по аналитической геометрии: Учебно-методическое пособие. – Москва–Ижевск:
Институт компьютерных исследований, 2004. – 216 с.
Данное учебно-методическое пособие содержит краткий курс лекций по аналитической
геометрии и задачи, которые предлагаются студентам на экзаменах.
Для студентов математических специальностей вузов и преподавателей аналитической
геометрии.
ISBN 5-93972-283-0
© А.Ю. Оболенский, И.А. Оболенский, 2004
© Институт компьютерных исследований, 2004
http://rcd.ru
http://ics.org.ru
Стр.2
Содержание
Предисловие............................................................................................................. 6
§1. Основные аксиомы и определения.................................................................. 9
1.1. Аксиомы, определяющие действительные числа...................................... 9
1.2. Векторное пространство над полем действительных чисел ..................10
1.3. Аффинное пространство ............................................................................14
1.4. Введение аффинных координат ................................................................15
1.5. Деление отрезка в данном отношении .....................................................16
1.6. Барицентрические координаты .................................................................16
1.7. Проекции и их свойства .............................................................................17
§2. Скалярное произведение векторов................................................................20
2.1. Метрическое пространство........................................................................20
2.2. Нормированное пространство...................................................................21
2.3. Эквивалентность определений скалярного произведения .....................23
2.4. Способ задания скалярного произведения...............................................26
2.5. Критерий Грама линейной независимости векторов..............................27
2.6. Ортогональное проектирование................................................................28
2.7. Метод ортогонализации Грама–Шмидта .................................................31
2.8. Теорема Рисса..............................................................................................33
2.9. Градиент линейной формы........................................................................34
2.10. Координаты градиента линейного функционала ..................................35
§3. Смешанное произведение векторов ..............................................................37
3.1. Определение. Ориентация .........................................................................37
3.2. Геометрический смысл формул Крамера.................................................39
§4. Векторное произведение ................................................................................41
4.1. Определения. Основные свойства.............................................................41
4.2. Вычисление координат векторного произведения..................................42
4.3. Двойное векторное произведение и его следствия .................................44
Формула «бац» минус «цаб» ..............................................................................................44
Скалярное произведение векторных произведений..........................................................44
Тождество Якоби ...............................................................................................................45
4.4. Решение систем уравнений........................................................................45
Уравнение
Уравнение [ [ ]] baxx, , = .....................................................................................................45
[ ] bax =,
...........................................................................................................45
§5. Понятие про алгебры Ли ................................................................................47
§6. Плоскости и прямые........................................................................................50
6.1. Основные определения и свойства ...........................................................50
6.2. Параметрические уравнения аффинных многообразий .........................51
6.3. Уравнение прямой ......................................................................................52
6.4. Аффинные функционалы...........................................................................53
6.5. Уравнения гиперплоскостей......................................................................56
6.6. Понятие пучка, связки, s-пучка гиперплоскостей...................................58
Стр.3
6.7. Уравнение аффинных многообразий........................................................59
§7. Метрические задачи........................................................................................63
7.1. Угол между прямой и плоскостью............................................................63
7.2. Угол между гиперплоскостями .................................................................64
7.3. Расстояние от точки до плоскости............................................................65
7.4. Наименьшее расстояние между точками на плоскостях........................66
§8. Выпуклые множества и гиперплоскости......................................................71
§9. Полярная система координат на плоскости .................................................75
§10. Аффинные и изометрические преобразования ..........................................77
10.1. Аффинные преобразования .....................................................................77
10.2. Теорема Дарбу...........................................................................................80
10.3. Изометрические преобразования ............................................................84
10.4. Классификация линейных преобразований двумерного
пространства..............................................................................................88
Задачи .....................................................................................................................92
§11. Билинейные формы. Основные свойства ...................................................98
11.1. Алгебраические функции.........................................................................98
11.2. Билинейные формы. Эквивалентность форм.........................................99
11.3. Симметрические и кососимметрические формы. Квадратичные
формы.......................................................................................................101
11.4. Алгоритм Лагранжа................................................................................103
11.5. Закон инерции квадратичных форм. Знакопостоянные формы ........105
11.6. Аффинная классификация поверхностей уровня квадратичных
функций ...................................................................................................107
11.7. Взаимное расположение прямой и поверхности второго порядка....112
Сопряженные направления ..............................................................................................113
11.8. Теорема Рисса. Сопряженный оператор...............................................113
§12. Билинейные и квадратичные формы в евклидовом пространстве ........119
12.1. Автоморфизмы билинейных форм .......................................................119
12.2. Спектр и собственные векторы самосопряженного оператора .........123
12.3. Принцип минимакса...............................................................................125
12.4. Инварианты квадратичных форм..........................................................128
12.5. Изометрическая классификация поверхностей второго порядка......134
§13. Кривые и поверхности второго порядка...................................................144
13.1. Конические сечения................................................................................144
13.2. Уравнения конических сечений ............................................................146
13.3. Определения кривых второго порядка.................................................147
13.4. Касательные и фокусы ...........................................................................150
13.5. Конические поверхности .......................................................................153
13.6. Прямые на поверхностях второго порядка ..........................................156
Гиперболоиды ....................................................................................................................156
Параболоиды .....................................................................................................................159
§14. Алгебра Грассмана......................................................................................161
14.1. Определение внешнего произведения форм........................................161
Стр.4
14.2. Свойства внешнего произведения форм ..............................................165
14.3. Поливекторы ...........................................................................................169
§15. Элементы симплектической геометрии....................................................178
§16. Элементы проективной геометрии............................................................182
16.1. Проективное пространство....................................................................182
16.2. Проективные преобразования ...............................................................186
16.3. Ангармоническое отношение................................................................189
16.4. Геометрическое определение проективных преобразований............193
16.5. Проективная классификация поверхностей второго порядка............195
§17. Элементы геометрии Лобачевского ..........................................................199
17.1. Эллиптическое пространство ................................................................199
17.2. Гильбертова метрика..............................................................................201
17.3. Пространство Лобачевского..................................................................203
17.4. Элементы геометрии треугольника на пространстве Лобачевского.209
Задачи ...................................................................................................................212
Стр.5