Метод интегральных преобразований в задачах математической физики (110,00 руб.)

Стр.1

Стр.3

Стр.6

Стр.7

Стр.8

МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ “ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ” (ФГБОУ ВПО «ВГУ») Метод интегральных преобразований в задачах математической физики Учебно-методическое пособие для вузов Составитель: Ю.Б. Савченко, С.А. Ткачева Воронеж 2014

Стр.1

3 1. Метод интегральных преобразований. Для решения задач математической физики с непрерывным спектром может быть использован метод интегральных преобразований. Под интегральным преобразованием функции понимается значение определенного интеграла, взятого по заданному промежутку от произведения на ядро преобразования, представляющее собой функцию переменной и некоторого параметра, который может принимать произвольные значения в заданной вещественной или комплексной области. Интегральные преобразования, встречающиеся в математической физике, могут быть условно разделены на «вещественные» и «комплексные» в зависимости от значений, принимаемых параметром преобразования. Пусть задана некоторая функция функций). Если для каждой функции класса A интеграл (1) сходится, то в этом случае говорят, что определено интегральное преобразование от функции на классе A. При этом функция называется ядром интегрального преобразования. Во многих случаях существует обратная зависимость для (1). Она имеет вид: (2) Функция называется ядром обратного преобразования. Формула (2) – обращение преобразования (1). Конкретная структура ядра зависит от ядра и пределов изменения переменных. Как правило, формула (2) имеет место в некотором классе B (не на всем классе A:B A), то есть . Обе формулы (1) и (2) можно объединить в одну: (3) Формула (3) – разложение функции случается, что формулы (1) и (2) взаимны. Синус-преобразование Фурье: по функциям . Часто . Будем предполагать эту функцию непрерывной от и в указанной области. Пусть - функция вещественной переменной( A – некоторый класс

Стр.3

6 интегрированию уравнения в частных производных, содержащих на единицу меньше независимых переменных, чем заданное уравнение. Если исходное уравнение с двумя независимыми переменными, то применение интегрального преобразования сводит задачу к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения. Преобразование Фурье. Ввиду большой важности интегрального преобразования Фурье напомним здесь некоторые основные свойства этого преобразования. Пусть - произвольная функция, определенная на интервале и удовлетворяющая следующим условиям: 1) - кусочно-непрерывная на 2) Будем говорить, что тогда . абсолютно интегрируемая на всей числовой оси. При таких условиях функция может быть представлена в виде разложения в интеграл Фурье: Причем в точке разрыва первого рода должна быть заменена полусуммой Преобразованием Фурье от функции левая часть формулы называется интеграл: Для Функций, удовлетворяющих перечисленным условиям, преобразование Фурье всегда существует. Действительно, интеграл: где - любые конечные числа , когда существует(интеграл Римана). Поэтому интеграл Фурье сходится. Преобразование Фурье обладает следующими свойствами.

Стр.6

7 Если константы, то линейности преобразования Фурье). Сверткой двух функций по формуле: коммутативна, , Имеет место формула обращения, которая справедлива для функций удовлетворяющих условиям: 1) 2) - кусочно-непрерывна и имеет конечное число максимумов и минимумов в любом замкнутом промежутке абсолютно интегрируема на всей числовой оси, то есть имеет конечное значение. Формула обращения имеет вид (в точках непрерывности) то есть где функции (свойство называется функция, определяемая ; причем свертка Справедлива формула . Пусть 2. Определение преобразования Лапласа. Оригинал и изображение. интегрируемая на (0,T) при любом Т>0 функция, равная нулю при >0: =0 при <0. Если эта функция при >0 удовлетворяет оценке , то можно рассмотреть интеграл (1.2) Действительно, справедлива оценка (1.1)

Стр.7

8 (1.3) При выводе (1.3) была использована оценка (1.1). Из оценки (1.3), в частности, следует, что . Функция плоскости является аналитической функцией комплексной переменной p в . Для того чтобы это проверить, находим пока формально (1.4) Как и при выводе (1.3), находим = = . Последнее означает, что интеграл равномерно по следовательно, производная . существует при справедлива при обозначается функция Интеграл (1.2) называется преобразование Лапласа функции В этом случае функция изображением. из (1.2) и называется оригиналом, а Преобразование Лапласа можно связать с преобразованием Фурье. Действительно, dt= при берётся со знаком -). В дальнейшем все приводимые в тексте примеры будут отмечаться знаком " ". и , (преобразование Фурье сходится и, , и формула (1.4) имеем где

Стр.8