МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
БУРЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Г.А. Шишкин
ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ФРЕДГОЛЬМА
Рекомендовано Учебно-методическим советом БГУ
в качестве учебно-методического пособия для студентов
и магистров специальностей/направлений
010400.62 Прикладная математика и информатика,
010501.65 Прикладная математика и информатика,
010400.68 Прикладная математика и информатика,
а также для студентов других специальностей,
где изучаются интегральные уравнения
ИЗДАТЕЛЬСТВО
Улан-Удэ
2014
Стр.3
УДК 511 968
ББК 22.161.6я73
Ш 655
Утверждено к печати
редакционно-издательским
советом Бурятского госуниверситета
Рецензенты
А.Д. Мижидон, д-р техн. наук, проф.
В.В. Кибирев, канд. физ.-мат. наук, проф.
Шишкин Г.А.
Ш 655 Линейные интегральные уравнения Фредгольма: учеб.метод.
пособие. - Улан-Удэ: Издательство Бурятского госуниверситета,
2014. - 106 с.
В пособии кратко изложены основные разделы теории интегральных
уравнений Фредгольма. Главное внимание уделено вопросам,
касающимся типов уравнений и методов их решения. Рассмотрены
теорема существования и единственности решения и ряд других
наиболее важных теорем. К каждому типу уравнений и рассмотренных
в пособии методов их решения приведены примеры с решениями,
в последнем параграфе дан список задач для самостоятельного
решения.
Пособие предназначено студентам специальности «Прикладная
математика и информатика», может использоваться студентами специальностей:
«Математика», «Математическое обеспечение и администрирование
информационных систем» и др.
УДК 511 968
ББК 22.161.6я73
© Бурятский госуниверситет, 2014
Стр.4
В В ЕД ЕН И Е
Уравнение называют интегральным, если неизвестная функция
входит в уравнение под знаком интеграла. Интегральные уравнения
- это функциональные уравнения специального типа, история
которых тесно связана с задачами математической физики, в частности
с проблемой колебания твердого тела [2; 12]. Теория интегральных
уравнений составляет значительный раздел математического
анализа и имеет большое теоретическое и прикладное значение.
В настоящее время все чаще интегральные уравнения рассматривают
как самостоятельное научное направление. Отдельные же
интегральные уравнения встречались уже в первой половине X IX в.,
но систематическая их теория была заложена на рубеже X IX -
X X вв. в работах итальянского математика В. Вольтерра (18601940),
шведского математика Э.И. Фредгольма (1866-1927),
Д. Гильберта (1862-1943) и других математиков [20].
Этот направление в математике своим возникновением обязано
Даниилу Бернулли, а затем в течение двух столетий усилия математиков
были направлены на решение проблемы колебаний среды
(механической, акустической, оптической, электромагнитной) и
связанной с ней краевой задачей теории потенциала, которая сводится
к решению интегральных уравнений.
Возможно, первый результат, который можно связать с интегральными
уравнениями, это формулы обращения Фурье (1811):
( 1)
(2)
0
Можно считать, что формула (2) дает решение интегрального
уравнения ( 1), в котором g (х) - неизвестная, а f
функция.
3
(х) - данная
Стр.5
Работа Фурье «Theorie analy lique de la chaleur» (1822) стала вехой
на этом пути.
В последнее десятилетие X IX в. Пуанкаре разработал теоретико-функциональные
методы и вместе с К. Нейманом они приступили
к рассмотрению гармонической краевой задачи, которая сводилась
к решению интегрального уравнения.
Однако из-за того, что в более простых ситуациях в непрерывном
предельном случае возникают дифференциальные, а не интегральные
уравнения, на целых два столетия внимание математиков
было уделено дифференциальным уравнениям.
Значимой в изучении линейных интегральных уравнений стала
работа В. Вольтерра (1896), в которой исследованы уравнения вида
а
д
р (х) - Л [ K (x, s) р s)ds = f
a
где р (x) - неизвестная функция, K (x, s) и f
(x),
ции, Л - численный параметр, он доказал, что если K (x, s) и f
(3)
(x) - данные функ(x)
непрерывны
в некотором сегменте [a, b], то в этом сегменте уравнение
(3) имеет при любом значении Л одно и только одно непрерывное
решение, которое можно построить по методу последовательных
приближений.
В 1900 г. Э.И. Фредгольм изложил основные свойства и теоремы
теории линейных интегральных уравнений с постоянными пределами
интегрирования, разработал общие методы решения этого
вида уравнений, которые теперь называют уравнениями Фредгольма.
Фредгольм дал красивое и оригинальное решение этого класса
уравнений, что открывало некоторую аналогию между интегральными
и алгебраическими линейными уравнениями. В работах
Фредгольма была реализована также идея превращения системы
линейных уравнений, описывающей дискретную систему масс, в
интегральные уравнения при переходе к предельному случаю
сплошной среды. Тем не менее отметим, что результаты Фредгольма
вытекают из специального вида его уравнения, которое возникает
при решении проблем математической физики [2; 10; 12].
Интегральные уравнения встречаются в различных областях
науки и многочисленных приложениях (в теории упругости, теории
пластичности, гидродинамике, теории массо- и теплопереноса, тео4
Стр.6
СОДЕРЖАНИЕ
Введение............................................................................................. 3
1. Классификация интегральных уравнений Фредгольма.......
6
2. Решение интегральных уравнений Фредгольма методом
последовательных приближений.................................................. 9
3. Уравнения с вырожденными ядрами..................................... 12
4. Решение интегральных уравнений Фредгольма с помощью
ряда Неймана.................................................................................... 15
5. Итерированные ядра и резольвента интегральных уравнений
Фредгольма................................................................................ 18
6. Решение линейных интегральных уравнений Фредгольма
второго рода методом последовательных подстановок........ 23
7. Уравнение Фредгольма как предел системы конечного
числа линейных алгебраических уравнений. Фундаментальные
соотношения Фредгольма..................................................... 27
8. Доказательство сходимости рядов Фредгольма..................... 33
9. Решение линейного уравнения, данное Фредгольмом при
D(X) Ф 0. Первая фундаментальная теорема Фредгольма........................................................................................................
35
10.
Решение однородных интегральных уравнений. Вторая
фундаментальная теорема Фредгольма....................................... 40
11. Собственные значения и собственные функции и их вычисление
........................................................................................... 55
12. Вычисление собственных значений и собственных функций
по методу Келлога................................................................... 59
13. Сопряженные однородные интегральные уравнения
63
14.
Решение неоднородных интегральных уравнений для
случая, когда D(X) = 0. Третья фундаментальная теорема
Фредгольма.......................................................................................
15. Теорема Адамара...................................................................... 76
70
Задачи для самостоятельного решения...................................... 80
Приложения...................................................................................... 102
Библиографический список......................................................... 104
Стр.107
Учебное издание
Геннадий Александрович Шишкин
ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ФРЕДГОЛЬМА
Учебно-методическое пособие
Редактор Е.П. Евдокимова
Компьютерная верстка Т.А. Олоевой
Свидетельство о государственной аккредитации
№ 1289 от 23 декабря 2011 г.
Подписано в печать 15.09.2014. Формат 60х84 1/16.
Уч.-изд. л. 5,73. Усл. печ. л. 6,17. Тираж 65. Заказ 194.
Цена договорная
Издательство Бурятского госуниверситета
670000, г. Улан-Удэ, ул. Смолина, 24а
riobsu@gmail.com
Отпечатано в типографии Издательства
Бурятского государственного университета
670000, г. Улан-Удэ, ул. Сухэ-Батора, 3а
Стр.108