Задачи, основанные на решении уравнений в целых числах, часто встречаются на вступительных экзаменах в вузы, на олимпиадах по математике в старших классах и являются задачами повышенной сложности. <...> В 2010 г. эти задачи (С6) были включены в ЕГЭ по математике. <...> С решением уравнений в целых числах связана тема делимости чисел. <...> Признаки делимости натуральных чисел на 3, 4, 8, 9, 11 Число 3n (знак « » читается как « n делится») тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр делится на число 3. <...> Число 9n тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр делится на число 9. <...> 3 Число n 11 , когда сумма его цифр, стоящих в четных разрядах1, либо равна сумме цифр, стоящих в нечетных разрядах, либо отличается от нее на число, кратное 11. <...> Например, число 1474 делится на число 11, поскольку сумма его цифр, стоящих в четных разрядах, равна 8, сумма его цифр, стоящих в нечетных разрядах, равна 8. <...> Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное Если каждое из натуральных чисел 12 ,, , n aa a… или ( 12 ,, , ),n ,, , aa a…,, , ).n aa a… делится нацело на натуральное число ,b то говорят, что число b является их общим делителем, а наибольший из общих делителей называется наибольшим общим делителем и обозначается или НОД( 12 натуральных чисел 12 кратным чисел 12 Если натуральное число b является кратным для каждого из aa a… , то число b называется общим ,, , n называется наименьшим общим кратным и обозначается или НО 12К(, , , ),n aa a… или [ 12 НОД(, 1, 2) 1. nn n ,, , n Числа называются взаимно простыми, если НО 12Д(, , , naa a… ) <...> Два или три последовательных числа взаимно простые, т. е. ++ = При решении задач целесообразно использовать следующие утверждения. <...> Подставляя различные значения для ,r получаем, что подходит число 30 − ) (= −− = 10 Находим Так как число 411n − нечетное, проверяем, делится ли оно на 7. <...> Следовательно, исходная дробь сократима для 71.nt ла 411n − для различных значений ,r получаем, что число 411n − =+ Пример <...>
Решение_уравнений_в_целых_числах.pdf
УДК 511(075.8)
ББК 22.13
Л27
Рецензенты: И.В. Блудова, З.Н. Русакова
Латанова Н.И.
Л27
Решение уравнений в целых числах : учеб. пособие / Н.И. Латанова,
А.П. Власова, Н.В. Евсеева. – М. : Изд-во МГТУ
им. Н.Э. Баумана, 2012. – 75, [5] с. : ил.
Посвящено разбору и решению уравнений в целых числах. Рассмотрена
связанная с решением уравнений в целых числах тема делимости
чисел.
Для абитуриентов, школьников старших классов и преподавателей
математики.
УДК 511(075.8)
ББК 22.13
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012
Стр.2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1. Основные понятия ........................................................................ 3
1.1. Признаки делимости натуральных чисел 3, 4, 8, 9, 11 ...............
1.2. Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное ......
Глава 2. Диофантовы уравнения ................................................................ 15
2.1. Однородные линейные уравнения ............................................... 15
2.2. Неоднородные линейные уравнения ........................................... 16
Глава 3. Дробно-рациональные уравнения ............................................... 23
Глава 4. Нелинейные уравнения ................................................................ 25
4.1. Разложение на множители ............................................................ 26
4.2. Сравнение левой и правой частей уравнения по модулю .......... 32
4.3. Окончание частей уравнения на одну и ту же цифру ................ 39
4.4. Метод оценки ................................................................................. 39
4.5. Решение квадратного уравнения относительно одной
из переменных ............................................................................... 40
Глава 5. Задачи с факториалами ................................................................ 41
Литература ................................................................................................... 45
Приложения ................................................................................................. 46
77
Стр.77