Аникин, Н.И. Сидняев, С.К. Соболев ТЕОРИЯ ПОЛЯ Методические указания к решению задач по курсу «Кратные интегралы и ряды» Москва Издательство МГТУ им. <...> А67 Теория поля : методические указания к решению задач по курсу «Кратные интегралы и ряды» / А. Ю. Аникин, Н. И. Сидняев, С. К. Соболев. <...> Н.Э. Баумана, 2013 Введение Теория поля, или векторный анализ, — это раздел математики, где методы математического анализа применяются к скалярным и векторным полям, т. е. к скалярным и векторным функциям нескольких переменных. <...> Для понимания теории поля надо хорошо знать кратные интегралы, а также криволинейные и поверхностные. <...> Скалярные и векторные поля Скалярным полем в п-мерном пространстве nR называется функция, которая каждой точке 12M(; ; .; )n Ux y , а скалярное поле в трехмерном пространстве – функция трех переменных (, , ). <...> 1.1), а в трехмерном пространстве векторное поле определяется своими тремя скалярными компонентами: F M = () Рис. <...> Скалярное поле может быть задано формулой, например, на плоскости: xx x некоторой области UM = Напомним, что i, j, k — взаимно перпендикулярные единичные векторы, образующие ортонормированный базис. <...> В частности, если тело массой m находится в точке, в которой гравитационное поле (вызванное другими массами) есть вектор G, то на него действует сила притяжения, равная если заряд q находится (в вакууме) в точке, где электрическое поле равно Е, то сила, действующая на этот заряд, равна Приведем пример векторного поля в пространстве (трехмерном), заданного формулой Fi − z k 2 R xy z=+ − =− +x y − z yx xz ; ( 2 )} ( 2 ) = ных полей. <...> Множество уровня скалярного поля Множеством уровня скалярного поля () Ux x x C n const. странстве называется множество всех точек 12Mx x x ∈R ( , , ., )== В частности, на плоскости множество ( , )== она называется линией уровня, ( ; ; .; ) n для которых поле принимает одно и то же постоянное значение: 12 уровня скалярного поля (, )Ux y есть некоторая линия <...>
Теория_поля.pdf
УДК 517.2 + 517.3
ББК 22.16
А67
Рецензент Ю.И. Димитриенко
Аникин А. Ю.
А67
Теория поля : методические указания к решению задач
по курсу «Кратные интегралы и ряды» / А. Ю. Аникин,
Н. И. Сидняев, С. К. Соболев. — М.: Изд-во МГТУ
им. Н.Э. Баумана, 2013. — 106, [2] с.
ISBN 978-5-7038-3763-4
Изложены основы векторного анализа — скалярные и векторные
поля на плоскости и в пространстве, операции над этими полями
и связи между ними, а также наиболее важные интегральные
теоремы теории поля (Грина, Гаусса—Остроградского и Стокса).
Разобраны примеры разной степени сложности, в частности, все задания
типового расчета по теории поля. Приведены задачи для самостоятельного
решения с ответами и указаниями.
Для студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана, изучающих и применяющих
векторный анализ.
Рекомендовано Учебно-методической комиссией Научно-учебного
комплекса «Фундаментальные науки» МГТУ им. Н.Э. Баумана.
УДК 517.2 + 517.3
ББК 22.16
ISBN 978-5-7038-3763-4
2
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013
Стр.2
Оглавление
Введение ......................................................................................... 3
Глава 1. Основные понятия .......................................................... 4
1.1. Скалярные и векторные поля .......................................... 4
1.2. Множество уровня скалярного поля ............................... 5
1.3. Векторные линии векторного поля ................................. 7
1.4. Задачи для самостоятельного решения .......................... 12
Глава 2. Криволинейные интегралы ............................................ 14
2.1. Криволинейные интегралы первого рода ....................... 14
2.2. Криволинейные интегралы второго рода ....................... 18
2.3. Задачи для самостоятельного решения .......................... 26
Глава 3. Поверхностные интегралы ............................................. 29
3.1. Поверхностные интегралы первого рода ....................... 29
3.2. Поверхностные интегралы второго рода........................ 33
3.3. Задачи для самостоятельного решения .......................... 43
Глава 4. Основы векторного анализа на плоскости .................... 45
4.1. Векторно-дифференциальные операции над скалярными
и векторными полями на плоскости ..................... 45
4.2. Связные и односвязные плоские множества .................. 47
4.3. Теорема Грина .................................................................. 49
4.4. Потенциальные и безвихревые векторные поля
на плоскости ...................................................................... 52
4.5. Задачи для самостоятельного решения ......................... 60
Глава 5. Основы векторного анализа в пространстве ................ 62
5.1. Векторно-дифференциальные операции над скалярными
и векторными полями в пространстве.................. 62
5.2. Теорема Гаусса — Остроградского ................................ 67
5.3. Теорема Стокса ................................................................. 69
106
Стр.106
5.4. Поверхностно односвязные и объемно односвязные
области в пространстве .................................................... 73
5.5. Потенциальные и безвихревые векторные поля
в пространстве .................................................................. 75
5.6. Соленоидальные и свободные от источников векторные
поля ............................................................................. 80
5.7. Специальные виды скалярных и векторных полей ....... 83
5.8. Некоторые приложения к гидродинамике ..................... 91
5.9. Задачи для самостоятельного решения .......................... 94
Ответы ............................................................................................ 100
Литература ...................................................................................... 105
107
Стр.107