Димитриенко, А.П.Соколов Метод конечных элементов для решения локальных задач механики композиционных материалов Рекомендовано Научно-методическим советом МГТУ им. <...> Д47 Метод конечных элементов для решения локальных задач механики композиционных материалов : учеб. пособие /Ю.И.Димитриенко, А.П.Соколов. <...> Изложены основы метода асимптотического осреднения (метода Бахвалова —Победри) для задач теории упругости, а также основы метода конечных элементов для решения локальных задач теории упругости на «ячейке периодичности» и расчета эффективных упругих характеристик композитов. <...> Приведены примеры численного решения локальных задач и результаты моделирования полей микронапряжений для различных типов композиционных материалов: однонаправленно-армированных, 3D ортогонально-армированных, армированных по диагоналям куба и тканевых. <...> Такие композиционные материалы известны человечеству очень давно, например древнейший строительный материал—древесина, обладающий самоповторяющейся внутренней структурой —годовыми кольцами. <...> Композитом можно считать и кирпичную кладку, так как у нее периодическая структура, образованная сочетанием кирпичей и соединяющего их раствора. <...> Составные части композитов обычно называют компонентами, или фазами. <...> Более точное математическое определение композитов было предложено Б.Е.Победрей [1], согласно которому композит—это материал, для описания свойств которого применяют математическую модель с разрывными функциями, характеризующими его неоднородную внутреннюю структуру. <...> С появлением нового направления в науке о материалах—наноматериалов и нанотехнологий —математическое определение композитов становится более предпочтительным, поскольку возникает необходимость исследовать «очень тонкую» внутреннюю структуру материалов, которая может быть установлена только специальной аппаратурой, например туннельными сканирующими микроскопами. <...> Классические <...>
Метод_конечных_элементов_для_решения_локальных_задач_механики_композиционных_материалов.pdf
УДК539.3+620.22(075.8)
ББК22.251+30.3
Д47
Рецензенты: А. В.Плюснин, И.В.Станкевич
ДимитриенкоЮ.И.
Д47 Метод конечных элементов для решения локальных задач механики
композиционных материалов : учеб. пособие /Ю.И.Димитриенко,
А.П.Соколов.—М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2010.—
66, [2] с. : ил.
Изложены основы метода асимптотического осреднения (метода Бахвалова
—Победри) для задач теории упругости, а также основы метода
конечных элементов для решения локальных задач теории упругости
на «ячейке периодичности» и расчета эффективных упругих характеристик
композитов. Даны вариационные формулировки задач теории упругости
и задач на «ячейке периодичности». Представлены оригинальные результаты
относительно метода решения локальных задач. Приведены примеры
численного решения локальных задач и результаты моделирования полей
микронапряжений для различных типов композиционных материалов:
однонаправленно-армированных, 3D ортогонально-армированных, армированных
по диагоналям куба и тканевых. Представлены результаты численного
расчета полей концентрации микронапряжений в компонентах
композитов.
Для студентов старших курсов, обучающихся по специальностям «Прикладная
математика», «Прикладная механика», «Материаловедение», «Ракетостроение
и космонавтика», изучающих дисциплины «Численные методы»
и «Вычислительная механика».
УДК539.3+620.22(075.8)
ББК22.251+30.3
МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2010
c
Стр.2
Оглавление
Введение .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 3
Глава 1. Метод асимптотического осреднения для расчета эффективных
упругих характеристик композиционных
материалов ... .... .... ... .... .... .... .... ... 6
1.1. Система уравнений линейной теории упругости для периодических
структур . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 6
1.2. Асимптотическое разложение системы уравнений линейной
теории упругости .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 9
1.3. Осреднение по «ячейке периодичности» . .. .. .. .. .. .. . 11
1.4. Локальная задача на «ячейке периодичности» . . . . . . . . . . 11
1.5. Осредненные уравнения теории упругости . . . . . . . . . . . . . 12
Глава 2. Разработка метода решения локальных задач на «ячейке
периодичности» . .... ... .... .... .... .... ... 14
2.1. Преобразование задачи на «ячейке периодичности» к задачам
для псевдоперемещений .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 14
2.2. Формулировка задач на 1 8 «ячейки периодичности» . . . 18
2.3. Явный вид граничных условий для задач Lpq .. .. .. .. .. 21
2.4. Теорема о продолжении решения задачи Lpq на всю
«ячейку периодичности» . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 24
Глава 3. Расчет эффективных характеристик композиционных
материалов ... .... .... ... .... .... .... .... ... 27
3.1. Эффективные определяющие соотношения композиционного
материала ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 27
3.2. Эффективные технические константы композиционного
материала . .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 28
3.3. Тензоры концентрации напряжений в компонентах композиционного
материала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Глава 4. Метод конечных элементов для решения задач Lpq .. 31
4.1. Вариационная формулировка локальной задачи Lpq .. .. . 31
4.2. Метод конечных элементов для задач Lpq .. .. .. .. .. .. . 35
4.3. Методы решения системы линейных алгебраических уравнений
.. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 39
Глава 5. Численное моделирование микронапряжений и эффективных
упругих характеристик композиционных
материалов ... .... .... ... .... .... .... .... ... 40
66
Стр.66
5.1. Однонаправленно-армированные композиционные материалы
. . . . . . . . ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 40
5.2. Ортогонально-армированные композиты (3D-композиты) 48
5.3. Композиты, армированные по диагоналям куба . . . . . . . . . 53
5.4. Тканевые композиты . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 57
Литература .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 63
Стр.67