М. В. Ануфриенко, Г. В. Шабаршина
Кратные интегралы и ряды
Часть 2
Методические указания
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов, обучающихся по направлению
Фундаментальная информатика и информационные технологии
Ярославль
ЯрГУ
2013
УДК 517.31(072)
ББК В161.12я73
А73
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. <...> План 2013 года
Рецензент
кафедра дискретного анализа ЯрГУ
Ануфриенко, Маргарита Вадимовна. <...> Элементы теории поля» и должны способствовать организации аудиторной и внеаудиторной
самостоятельной подготовки студентов. <...> При подготовке были использованы материалы задачников:
Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Шабунин М. И. <...> Вычисление двойного интеграла
с помощью сведения к повторному. <...> Такую область G
называют элементарной относительно оси Oy. <...> В этой полосе при каждом значении x переменная y изменяется от y=0 (это значение на оси Ox) до
4
y= 2 x x 2 (это значение на верхней половине окружности
( x 1) 2 y 2 1). <...> Обозначим
x sin( x y )dy через
I (x)
внутренний
и вычислим:
интеграл <...> D
После того как мы перешли к повторному интегралу, вычислим сначала внутренний интеграл по переменной y, используя
формулу Ньютона-Лейбница:
6
3
4 x2 <...> Повторный интеграл равен двойному интегралу по этой области. <...> В области G2 при
изменении y от ½ до 1 переменная x меняется от x=0 (значение на
оси Oy) до x= 1 y 2 (значение x на окружности). <...> Рассмотрим
двойной интеграл f ( x, y )dxdy . <...> Далее, будем считать, что для функций x = x(u, v), y=y(u, v), (u,
v) существуют непрерывные частные производные xu, xv, yu,
x x
yv, и определитель J матрицы u v , составленной из частных
yu yv
производных (якобиан преобразования), отличен от 0 во всех
точках области . <...> В следующей задаче предлагается осуществить переход к
полярным координатам, т. е. в качестве переменных u, v выбрать <...>
Кратные_интегралы_и_ряды._Ч._2_методические_указания.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Кафедра дискретного анализа
М. В. Ануфриенко, Г. В. Шабаршина
Кратные интегралы и ряды
Часть 2
Методические указания
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов, обучающихся по направлению
Фундаментальная информатика и информационные технологии
Ярославль
ЯрГУ
2013
Стр.1
УДК 517.31(072)
ББК В161.12я73
А73
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2013 года
Рецензент
кафедра дискретного анализа ЯрГУ
А73
Ануфриенко, Маргарита Вадимовна.
Кратные интегралы и ряды: методические указания.
Ч. 2 / М. В. Ануфриенко, Г. В. Шабаршина; Яросл. гос. унт
им. П. Г. Демидова. – Ярославль: ЯрГУ, 2013. – 44 с.
Настоящие методические указания предназначены
для самостоятельной работы студентов по программе курса
«Кратные интегралы и ряды. В пособии собраны материалы,
которые относятся ко второй части курса «Кратные
интегралы. Элементы теории поля» и должны способствовать
организации аудиторной и внеаудиторной
самостоятельной подготовки студентов.
Предназначены для студентов, обучающихся по направлению
010300.62 Фундаментальная информатика и
информационные технологии (дисциплина «Кратные интегралы
и ряды», цикл Б2), очной формы обучения.
УДК 517.37(072)
ББК В161.12я73
© ЯрГУ, 2013
2
Стр.2
Оглавление
Введение .......................................................................................... 3
5. Кратные интегралы .................................................................... 4
Занятие 12. Вычисление двойного интеграла с помощью
сведения к повторному. Теорема о замене переменных в
двойном интеграле............................................................................ 4
Задания для самостоятельной работы ..................................... 10
Занятие 13. Тройные интегралы. Замена переменных в
тройном интеграле. Сферические и цилиндрические
координаты в 3R .............................................................................11
Задания для самостоятельной работы ..................................... 17
Занятие 14. Вопросы и задания по теме «Кратные
интегралы» ...................................................................................... 17
6. Криволинейные интегралы первого и второго рода.
Поверхностные интегралы. Элементы теории поля ...................... 18
Занятие 15. Криволинейный интеграл первого рода. Его
свойства и вычисление. Формула Грина ...................................... 18
Задания для самостоятельной работы ..................................... 22
Занятие 16. Приложения криволинейных интегралов.
Условие независимости криволинейного интеграла второго
рода от пути интегрирования ........................................................ 23
Задания для самостоятельной работы ..................................... 27
Занятие 17. Поверхностные интегралы. Формула Стокса.
Формула Гаусса – Остроградского. Элементы теории векторного
поля .......................................................................................... 28
Задания для самостоятельной работы ..................................... 40
Вопросы и задания по темам «Криволинейные интегралы»,
«Поверхностные интегралы» ........................................................ 41
43
Стр.43