Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский государственный технологический университет» СПЕЦГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ МАГИСТРОВ Учебное пособие Под редакцией Л.Н. Журбенко Казань 2005 ББК 22.1 УДК 51(075.8) Га 12 Спецглавы высшей математики для магистров: Учебное пособие / Н.Н.Газизова; Под редакцией Л.Н. Журбенко; Казан. гос. технол. ун-т. <...> В качестве вспомогательного материала предложены приложения: комплексные числа, производные, интегралы. <...> Для более глубокого изучения материала курса математики магистрами на кафедре высшей математики разработано учебное пособие «Спецглавы высшей математики для магистров», которое содержит следующие разделы: теория матриц, векторная алгебра, дифференцирование функции нескольких аргументов, обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные операторы, уравнения математической физики, теория поля. <...> В качестве вспомогательного материала приведены приложения: комплексные числа, производные, интегралы. <...> В каждом разделе приведены примеры, а для проверки полученных знаний в конце раздела предложен тест закрытой формы (с выбором правильного ответа), который включает задания как на решение, так и на знание теоретического материала. <...> Более подробно комплексные числа и действия над ними рассматриваются в приложении 1. <...> a2n Квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю, d1 0 0 0 . <...> Квадратную матрицу, у которой все элементы, расположенные на главной диагонали, равны единице, а вне главной диагонали, равны нулю, Е= 0 1 . <...> Если квадратная матрица совпадает со своей ~ a∗ = a∗ . <...> Как видно из решения, А≠ А+, следовательно, матрица А не 5 + i 1 найти А*, ~ Если квадратная матрица А совпадает со своей сопряженA, А+ . <...> Декартовы координаты вектора a = { ax ,ay ,az } совпадают 2 x 2 y z с его проекциями на соответствующие оси координат: ax = npx a , ay = npy a , az = npz <...>
Спецглавы_высшей_математики_для_магистров._Учебное_пособие.pdf
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Казанский государственный технологический университет»
СПЕЦГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
ДЛЯ МАГИСТРОВ
Учебное пособие
Под редакцией Л.Н. Журбенко
Казань 2005
Стр.1
ББК 22.1
УДК 51(075.8)
Га 12
Спецглавы высшей математики для магистров: Учебное
пособие / Н.Н.Газизова; Под редакцией Л.Н. Журбенко; Казан. гос.
технол. ун-т. Казань, 2005. – 152 с. – ISBN 978-5-7882-0257-4
Приведены отдельные главы математики для студентовмагистров.
В качестве вспомогательного материала предложены приложения:
комплексные числа, производные, интегралы. Пособие содержит
примеры, тесты закрытой формы.
Предназначено для углубленной математической подготовки
студентов-магистров технологического и механического профилей
КГТУ, изучающих дисциплину ДНМ.05 «Дополнительные главы математики».
Соответствует требованиям Государственного образовательного
стандарта высшего профессионального образования второго
поколения.
Библ. 15 назв.
Подготовлено на кафедре высшей математики КГТУ.
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Казанского государственного технологического университета
Рецензенты:
д-р физ.-мат.наук,
проф. каф. физики КГЭУ
доц. каф. алгебры КГУ
ISBN 978-5-7882-0257-4
Р.В.Сабурова
Ю.А.Альпин
© Казанский государственный
технологический университет, 2005.
Стр.2
Содержание
Введение ………………………………..…………………………3
1. Теория матриц………………...………………………...…..…4
1.1. Основные определения………..……………………………...4
1.2. Сложение и умножение матриц………………………..….…6
1.3. Определители и их свойства……………………..……….….8
Тестовые задания по теме 1………………………..………..10
2. Векторная алгебра……………………..……………………..12
2.1. Векторы и линейные операции над ними…………….........12
2.2. Скалярное произведение векторов………………………....16
2.3. Векторное произведение……………………..……………..18
2.4. Смешанное (векторно-скалярное) произведение трех
векторов………………………………………………………20
Тестовые задания по теме 2…………………………...…….21
3. Дифференцирование функции нескольких аргументов...24
4. Обыкновенные дифференциальные уравнения……….. 32
3.1. Частные производные……………………..………….……..24
3.2. Полный дифференциал…………………….......……………26
3.3. Производные от сложных функций……………………......27
3.4. Производные неявных функций……………………...…….29
Тестовые задания по теме 3……………………………...…29
4.1. Дифференциальные уравнения первого порядка…………32
4.1.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными…………………………………………...….33
4.1.2. Однородные дифференциальные уравнения…………....34
4.1.3. Линейные дифференциальные уравнения……………....35
4.1.4. Уравнение Бернулли……………………...………………36
4.2. Дифференциальные уравнения высших порядков………..36
4.2.1. Уравнения вида y(n)=f(x)……………………...…………..37
4.2.2. Дифференциальные уравнения вида F(x, y(k), …, y(n))=0,
не содержащие искомой функции……………………….38
151
Стр.151
4.2.3. Дифференциальные уравнения вида F(у, y′, …, y(n))=0,
не содержащие независимой переменной……………...39
5. Линейные операторы……………………………….…...…45
5.1. Понятие оператора. Свойства оператора…………...…….45
5.2. Собственные значения и собственные функции
4.2.4. Линейные дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами……………..40
Тестовые задания по теме 4……………………..............….44
оператора и их свойства……..………………….………...52
6. Уравнения математической физики……………………..59
6.1. Основные дифференциальные уравнения математи5.3.
Представление оператора в матричной форме…………...54
5.4. Матричная форма уравнения…………………..………….56
Тестовые задания по теме 5…………………..…………...57
ческой физики………………………………………………59
6.2. Уравнение малых поперечных колебаний струны……....61
6.3. Формула Даламбера……………………..…………………64
6.4. Метод Фурье для уравнения свободных колебаний
струны……………………………………………………….68
6.5. Вынужденные колебания струны, закрепленной на
концах……………………………………………………….73
6.6. Уравнение теплопроводности…………………..………..76
6.7. Уравнение диффузии…………………………………...…80
6.8. Распределение температуры в неограниченном
стержне……………………………………………………...81
6.9. Метод сеток решения задачи Дирихле………………….88
6.10. Решение плоской задачи теории упругости в конечных
разностях…………………………………………………..92
7. Теория поля……………………………………………...…116
7.1. Скалярные и векторные поля………………………….....116
152
6.11. Об одном подходе к численному решению стационарных
уравнений гидродинамики…………...……………..98
Тестовые задания по теме 6……………………..……...113
Стр.152
7.2. Циркуляция векторного поля вдоль кривой……………120
7.3. Формула Гаусса-Остроградского. Дивергенция…….....122
7.4. Формула Стокса………………………………..…………125
7.5. Ротор векторного поля………………………………..….127
7.6. Потенциальное поле и его свойства……………….……130
7.7. Соленоидальное поле и его свойства…………………...133
7.8. Векторный потенциал………………………….………...135
Тестовые задания по теме 7……………………….……..137
Приложение 1. Комплексные числа…………………………140
Приложение 2. Производная функции одной переменной.
Свойства производных…………………...…144
Приложение 3. Неопределенный интеграл. Основные
свойства неопределенного интеграла.
Определенный интеграл…………………….146
Ответы к тестовым заданиям………….…………………..149
Библиографический список .………………………….....…150
153
Стр.153