Изложены основные вопросы аксиоматического построения систем натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел. <...> Вот почему эта теория занимает важное место в математиское обоснование основных свойств систем натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел, причем система натуральных чисел служит фундаментом, на котором строятся все другие числовые системы. <...> За ней последовательно определим системы целых, рациональных, действительных и комплексных чисел таким образом, чтобы каждая из перечисленных здесь систем являлась расширением предыдущей. <...> Так, если числовая система A расширяется до системы B, то эти свойства сводятся к следующему: также и на B, причем их смысл для элементов множества A, рассматриваемых уже как элементы B, совпадает с тем, какой они имели до расширения; на нем некоторыми операциями и отношениями. <...> 3 1) A есть подмножество множества B; 2) операции и отношения, заданные на A, определены 3) в B должна быть выполнима операция, которая в A невыполнима или же не всегда выполнима; 1Под числовой системой понимается множество с определенными В средней школе будущий студент уже научился немно 4) расширение B должно быть минимальным из всех расширений данной системы A, обладающих свойствами 1 – 3, и определяться ею однозначно с точностью до изоморфизма. <...> При этом, как требует современная наука, система аксиом должна быть: непротиворечивой, когда из системы аксиом нельзя вывести исключающих друг друга утверждений; полной, когда всякое утверждение, сформулированное в терминах теории, построенной на основе этих аксиом, может быть либо доказано, либо опровергнуто; независимой, когда ни одна из аксиом не является следствием остальных; категоричной, когдалюбые двемоделиданнойсистемы аксиом (совокупности некоторых объектов, для которых Пеано и, как следствие, полноту других систем аксиом, мы не располагаем, поскольку отсутствует точное понятие доказательства <...>
Числовые_системы.pdf
Ю.Н. Смолин
ЧИСЛОВЫЕ
СИСТЕМЫ
Учебное пособие
2-е издание, стереотипное
Допущено Министерством образования и науки
Российской Федерации
в качестве учебного пособия
для студентов математических специальностей
высших учебных заведений
Москва
Издательство «Флинта»
2016
Стр.1
УДК 511.11(075.8)
ББК 22.131я73
С51
С51
Смолин Ю.Н.
Числовые системы [Электронный ресурс] : учеб. пособие
/ Ю.Н. Смолин. – 2-е изд., стер. – М. : Флинта, 2016. –
112 с.
ISBN 978-5-9765-0794-4
Учебное пособие написано в соответствии с программой курса
«Числовые системы» для студентов математических специальностей
университетов. Изложены основные вопросы аксиоматического
построения систем натуральных, целых, рациональных, действительных
и комплексных чисел.
УДК 511.11(075.8)
ББК 22.131
ISBN 978-5-9765-0794-4
© Смолин Ю.Н., 2016
© Издательство «Флинта», 2016
Стр.2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Система натуральных чисел
§1. Система Пеано
§ 2. Сложение натуральных чисел
§ 3. Умножение натуральных чисел
§ 4. Неравенства на множестве
натуральных чисел
§ 5. Категоричность системы аксиом
натуральных чисел
§ 6. Вычитание натуральных чисел
Упражнения
Глава 2. Система целых чисел
§ 1. Основные понятия. Построение модели
§ 2. Категоричность системы аксиом
целых чисел
§ 3. Свойства целых чисел
Упражнения
Глава 3. Система рациональных чисел
§ 1. Основные понятия. Построение модели
§ 2. Категоричность системы аксиом
рациональных чисел
§ 3. Свойства рациональных чисел
Упражнения
Глава 4. Система действительных чисел
§ 1. Основные понятия. Построение модели
§ 2. Категоричность системы аксиом
действительных чисел
§ 3. Свойства действительных чисел
Упражнения
109
3
6
12
19
6
35
36
24
30
37
37
46
52
52
58
63
63
76
49
51
60
62
81
83
Стр.109
Глава 5. Система комплексных чисел
§ 1. Основные понятия. Построение модели
§ 2. Категоричность системы аксиом
комплексных чисел
§ 3. Алгебраическая форма комплексных чисел 90
§ 4. Тригонометрическая форма
комплексных чисел
Упражнения
84
84
88
105
Глава 6. Алгебры
Список литературы
92
106
108
110
Стр.110