Напряженность электрического поля, созданного точечным зарядом q на расстоянии r от него, E = 1 4 0 ⋅ q r 2 . <...> Принцип суперпозиции электростатических полей – напряженность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, созданных отдельными зарядами. <...> S ni 0 Напряженность поля бесконечной равномерно заряженной плоскости 0 E 2 = , где σ – поверхностная плотность заряда, численно равная заряду, приходящемуся на единицу площади заряженной поверхности, т.е σ = Δq/ΔS. <...> Напряженность поля двух бесконечных равномерно заряженных с поверхностной плотностью заряда +σ и –σ плоскостей (поле плоского конден4 πε πε ε σε сатора) в точках, расположенных между плоскостями равна E = , 0 а вне их Евне = 0. <...> Электрическое поле создано двумя точечными зарядами q1 = 30 нКл и q2 = –30 нКл. <...> Поэтому для расчета напряженности и потенциала можно воспользоваться принципом суперпозиций. можно принять за точечный заряд dq. <...> На продолжении оси стержня на расстоянии а = 10 см от ближайшего конца находится точечный заряд q0 = 10 нКл. <...> На расстоянии r = 10 см от нити находится точечный заряд q = 10 нКл. <...> Электрическое поле создано бесконечной плоскостью с по8 ными плоскостями с поверхностными плотностями зарядов σ1 = 0,4 мКл/м2 и σ2 = 0,1 мКл/м2. <...> Электрическое поле создано двумя параллельными бесконеч 1.1.14. <...> Электрическое поле создано тонкой бесконечно длинной нитью, равномерно заряженной с линейной плотностью τ = 30 нКл/м. <...> Точечный заряд q = –2·10-10 Кл расположен на продолжении оси /2. ка расположены на расстоянии 15 см друг от друга в воздухе. <...> Линейная плотность заряда каждого проводника равна 1 мкКл/м. <...> Проводники в электрическом поле Основные формулы Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов, находящихся на расстоянии r, при условии, что W 0=∞ , равна W=⋅ . r 1 12 qq⋅ 4 0 10 радиусом R0 = 2 см. Объемная плотность зарядов постоянна и равна 2 мкКл/м3. <...> 1.1.3), лежащих на расстояниях r1 = 1 см и r2 = 3 см <...>
Электрические_и_магнитные_цепи_.pdf
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ
Учебное пособие для вузов
Составители:
А.Н. Ларионов,
В.В. Чернышёв,
Н.Н. Ларионова
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2009
Стр.1
СОДЕРЖАНИЕ
1. Электростатика………….……………………………………………….…. 4
1.1. Электростатическое поле в вакууме. Теорема
Остроградского-Гаусса………...…………………………………………... 4
1.2. Потенциал. Разность потенциалов. Проводники
в электрическом поле……………………………….………………….…10
1.3. Диэлектрики в электрическом поле. Уравнения Пуассона
и Лапласа…………………………………...……………………………... 19
2. Постоянный ток…………………………………………..…..……………. 26
2.1. Законы постоянного тока…………………..…………....…………. 26
2.2. Работа и мощность постоянного тока…………...………………... 33
2.3. Электропроводность различных сред……………..…………….….38
2.4. Расчет эквивалентного сопротивления. Обобщенный закон Ома.
Потенциальная диаграмма…..……………………………………….….....44
2.5. Простые электрические цепи. Прямая задача………………...……...53
2.6. Простые электрические цепи. Обратная задача. Метод
подобия ………………….…………..………….……………………..........61
2.7. Метод токов в ветвях……..……...……………………….…….…... 67
2.8. Метод контурных токов……………………………………………...73
2.9. Метод узловых потенциалов……………...…………………….…... 78
3. Магнитные цепи постоянного тока……………………..……………….....84
3.1. Прямая и обратная задача…………………………………….….….84
4. Электромагнетизм…………….……………………………………..……...90
4.1. Магнитное поле в вакууме………………………...……………..…...90
4.2. Электромагнитная индукция…………………………………….….100
4.3. Магнитное поле в веществе. Энергия магнитного поля……….108
5. Электромагнитные колебания…………………….……………………....113
5.1. Колебательный контур……………...………………………...….… 113
Ответы………………………………………………………………………....119
Литература…………………………………………………………………….136
3
Стр.3
вой линии от заряда q1, так как заряд q1 > 0; вектор 2
силовой линии, но к заряду q2, так как q2 < 0.
Вектор 1
E
заряд q1 > 0; вектор 2
14 (
E
E
направлен также по
(см. рис.) направлен по силовой линии от заряда q1, так как
направлен также по силовой линии, но к заряду q2,
так как q2 < 0.
Подставив выражения (3) в формулу (1) и вынося общий множитель
0 ) за знак корня, получим:
E=+ + 2
4
16,7 кВ/м.
Пример 1.1.2. Положительный заряд q равномерно распределен по
тонкому проволочному кольцу радиуса R. Определить напряженность поля
и потенциал в точке С, лежащей на оси кольца на расстоянии z от его центра.
Изменятся ли эти величины, если нарушить равномерное распределение
заряда по кольцу?
Дано:
q
R
z
Е – ?
φ – ?
Решение
Поле задано зарядом, распределенным по тонкому кольцу.
Даже при равномерном распределении заряда нельзя указать точную
конфигурацию силовых линий. Поэтому для расчета напряженности
и потенциала можно воспользоваться принципом суперпозиций.
можно
принять за точечный заряд dq. Потенциал созданного им поля:
0
=
4
r
,
Разобьем кольцо на элементарные участки. Каждый такой участок
dq
(1)
где r – расстояние от элемента dq до точки С.
Потенциал результирующего поля получим,
проинтегрировав выражение (1):
= ∫ 4
гому rR z
=
+
можно преобразовать:
6
dq r .
0
(2)
При переходе от одного элемента кольца к дру22
не
изменяется и выражение (2)
1 qq qq
01 2rr r r2
22
12 12
44 2
1
2
сos
Подставив численные значения, получим искомую величину: Е =
16,7 кВ/м.
Ответ: Напряженность электростатического поля в данной точке Е =
α
πε
π
ε
ϕ
π
ε
π
ϕ
ε
Стр.6
С =
С 4
=
1
4
q
q
0 Rz 0
22
0 R z
+
4
.
+ ∫dq
Следовательно, в точках, лежащих на оси кольца, потенциал
22
Проекция вектора напряженности на ось ОZ:
()
Ez =−∂ =∂
z
вектор E
z < 0, то ЕZ < 0 и вектор E
ложительный, то ЕZ > 0 и вектор E
qz
0 Rz
+
22 32
При равномерном распределении заряда, т.к. EE 0xy= , следует, что
= z ⋅
=
направлен вдоль оси ОZ, т.е. E Ek. При z > 0, если заряд понаправлен
по оси ОZ вверх. В области
направлен по оси ОZ вниз.
При неравномерном распределении заряда по кольцу выражения (3) и
(4) не изменятся, но Ex и Ey не равны нулю и будут существенно зависеть
от характера распределения заряда. При этом, чтобы найти Ex и Ey в точках,
лежащих на оси ОZ, необходимо определить потенциал в произвольной
точке пространства (0
x ≠ , 0
Ответ:
С 4
=
q
0 R z
+
22 ; ()
E =z 4
qz
0 Rz
+
22 32
y ≠ ), затем продифференцировав, получить
выражения для Ex и Ey и только после этого подставить значения x 0≠ ,
y 0≠ .
.
При нарушении равномерного распределения заряда потенциал точки
С останется прежним, напряженность изменится.
Задачи для самостоятельного решения
ном.
1.1.1. Найти силу притяжения между ядром атома водорода и электро1.1.2.
Заряд q = –3,3·10-8 Кл равномерно распределен по сферической
поверхности. Какую скорость нужно сообщить точечному заряду, удельный
заряд которого равен 3,3.10-4 Кл/кг, в направлении, перпендикулярном прямой,
соединяющей центр сферической поверхности с точечным зарядом,
чтобы он начал вращаться по окружности радиусом r = 10 см? Заряды находятся
в вакууме. Радиус сферической поверхности меньше r.
1.1.3. Два точечных положительных заряда q1 и q2 помещены на расстоянии
l друг от друга. Где надо поместить третий точечный заряд, и каким
он должен быть, чтобы все три заряда оказались в равновесии?
7
(3)
(4)
πε
ϕ
πε
ϕ
ϕ πε
πε
πε
ϕ
Стр.7
1.1.4. Три одинаковых положительных заряда 10-9 Кл каждый расположены
по вершинам равностороннего треугольника. Какой отрицательный
заряд нужно поместить в центре треугольника, чтобы сила притяжения с
его стороны уравновесила силы взаимного отталкивания зарядов, находящихся
в вершинах?
1.1.5. Два шарика весом по 2·10-2 Н каждый подвешены в воздухе на
тонких шелковых нитях длиной 2 м. Шарикам сообщают одноименные заряды
5·10-8 Кл. Определить расстояние между центрами шариков.
1.1.6. Два шарика массой по 1,5 г каждый подвешиваются в одной точке
на шелковых нитях. После получения одинакового по величине и знаку
зарядов они разошлись на расстояние 10 см и нити образовали угол 36˚.
Считая заряд отрицательным, определить его величину и количество электронов,
полученных каждым шариком.
1.1.7. Тонкий прямой стержень длиной l = 15 см равномерно заряжен
с линейной плотностью τ = 0,10 мКл/м. На продолжении оси стержня на
расстоянии а = 10 см от ближайшего конца находится точечный заряд q0
= 10 нКл. Определить силу взаимодействия стержня и заряда.
1.1.8. Два одинаковых положительных точечных заряда q1 = q2 = q находятся
на расстоянии 2l = 10 см друг от друга. На прямой, являющейся
осью симметрии этих зарядов, найти точку, в которой напряженность электрического
поля имеет максимум.
1.1.9. Тонкий стержень длиной 2l равномерно заряжен с линейной
плотностью τ. Определить напряженность электрического поля в точке, лежащей
против середины стержня на расстоянии а от него.
1.1.10. Очень длинная нить равномерно заряжена с линейной плотноверхностной
плотностью зарядов σ = 100 нКл/м2 и бесконечной прямой
нитью, заряженной с линейной плотностью τ = 100 нКл/м. На расстоянии
r = 10 см от нити находится точечный заряд q = 10 нКл. Определить силу,
действующую на заряд и ее направление, если заряд и нить лежат в одной
плоскости, параллельной заряженной плоскости.
ряд q = 10 нКл. Площадь каждой пластины конденсатора S = 100 см2. Определить
силу, с которой притягиваются пластины. Поле между пластинами
считать однородным.
1.1.13. Электрическое поле создано бесконечной плоскостью с по8
ными
плоскостями с поверхностными плотностями зарядов σ1 = 0,4 мКл/м2
и σ2 = 0,1 мКл/м2. Определить напряженность электрического поля, созданного
этими заряженными плоскостями.
1.1.12. На пластинах плоского воздушного конденсатора находится застью
τ. Определить напряженность поля в точке, лежащей против конца
нити на расстоянии а от нее.
1.1.11. Электрическое поле создано двумя параллельными бесконеч
Стр.8