ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
И.Н. Прядко, Б.Н. Садовский
КИНЕМАТИКА
Конспекты лекций
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2009
Стр.1
Оглавление
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ...............................................................................................................................5
1.1. ОТМЕЧЕННАЯ ТОЧКА. ..................................................................................................................................5
1.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ........................................................................................................5
1.3. ДЕКАРТОВЫ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА. ................................................................................................................7
1.4. НЕИЗМЕНЯЕМЫЕ СИСТЕМЫ, ТВЕРДЫЕ СРЕДЫ И ТЕЛА.................................................................................8
1.5. СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА И СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. ............................................................................................9
1.6. ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ, СКОРОСТЬ, УСКОРЕНИЕ, ТРАЕКТОРИЯ. .......................................................................10
1.7. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ................................................................................................10
1.8. ТРИ ЧАСТНЫХ СЛУЧАЯ. .............................................................................................................................12
1.9. СФЕРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ.......................................................................................................12
1.10. ГЕОГРАФИЧЕСКАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ...............................................................................................13
1.11. ЕСТЕСТВЕННЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ. .....................................................................................13
1.12. ПРИМЕР АНАЛИЗА ДВИЖЕНИЯ ПРИ ЕСТЕСТВЕННОМ ЗАДАНИИ. ..............................................................15
2. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ.............................................................................................................16
2.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ..............................................................................................................................16
2.2. ТЕОРЕМА О СЛОЖЕНИИ СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ...................................................................................18
2.3. ПРИМЕР: ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ОБОДА КОЛЕСА. ............................................................................................19
2.4. ПРИМЕР: ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ, СКОЛЬЗЯЩЕЙ ПО КОЛЕСУ. ...........................................................................21
2.5. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ СЛОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ. ...........................................................................22
3. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА...........................................................................................................22
3.1. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ТВЕРДОЙ СРЕДЫ.....................................................................................22
3.2. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ. .................................................................................................................24
3.3. ВРАЩЕНИЕ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ПРЯМОЙ. ..........................................................................................25
3.4. ЛЕММА О КОСОСИММЕТРИЧНОСТИ...........................................................................................................26
3.5. ЛЕММА О КОСОСИММЕТРИЧЕСКОЙ МАТРИЦЕ. ..........................................................................................26
3.6. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА О СКОРОСТЯХ ТОЧЕК ТВЕРДОЙ СРЕДЫ.........................................................................27
3.7. СЛЕДСТВИЕ О ПЕРЕНОСНОЙ ВРАЩАТЕЛЬНОЙ СКОРОСТИ И УСКОРЕНИИ КОРИОЛИСА. ............................28
3.8. СВОЙСТВА ВЕКТОРА МГНОВЕННОЙ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ. ........................................................................29
3.9. ПРИМЕР: ПРАВЫЙ БЕРЕГ КРУЧЕ ЛЕВОГО....................................................................................................30
3.10. ОБ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА. ..............................................................................................32
3.11. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ. ......................................................................................................32
3.12. МГНОВЕННЫЙ ЦЕНТР СКОРОСТЕЙ...........................................................................................................34
3.13. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СПОСОБ НАХОЖДЕНИЯ МГНОВЕННОГО ЦЕНТРА СКОРОСТЕЙ....................................35
4. КИНЕМАТИКА СВЕТЛЯЧКОВ ................................................................................................................36
4.1. ЭФИР И СВЕТОВЫЕ СИГНАЛЫ. ...................................................................................................................36
4.2. СВЕТЛЯЧОК И ЕГО ТАКТ.............................................................................................................................37
3
Стр.3
Для любых отмеченных точек A и B определены и обладают из–
вектор rr tAB () , определяемый этим направленным отрезком (который
вестными свойствами следующие понятия:
– направленный отрезок () ()A tB t ,
=
можно формально представлять как множество всех направленных отрезков,
получаемых из данного параллельными переносами),
– произведение
rt
B
r
A
AB
C
Рис. 1
D
rr
CD AB
=
– угол (, )ab∠
– радианная мера угла кратчайшего
поворота вектора a до совпадения
с направлением вектора b ,
– скалярное произведение (, )ab векторов, равное произведению их длин
на косинус угла между ними,
– расстояние
(( ), ( ))
A tB t A t B t r== =
( )( )
(длина вектора) в данный момент,
– множество t
AB ()
(r r =
,
)
r
2
rt r t
+
,
AB ()
вещественного
числа на вектор и сумма векторов
AB () ()CD
между точками
V всех векторов rt , которое вместе с операциями умножения
на вещественные скаляры, сложения и скалярного умножения векторов
представляет собой трехмерное линейное евклидово пространство.
Пространства t
E при разных значениях t изоморфны между собой,
однако никакого «естественного» изоморфизма между ними не существует.
Невозможно сегодня указать точку мирового пространства, в которой
вчера в полдень находилась вершина Эйфелевой башни. Но если задать
какую-нибудь систему отсчета и связанную с ней систему координат, например,
связанные с Землей широту, долготу и высоту над уровнем моря,
то соответствие между точками пространств 1t
через равенство координат.
E и 2t
6
E можно определить
α
ρ
Стр.6
1.3. Декартовы системы отсчета
Декартовой системой отсчета будем называть упорядоченную четверку
отмеченных точек SO E E E , для которой в любой момент времени
= (, , , )
12 3
OE OE OE== = ,
2) ( )ij
выполнены три условия:
1) 12 3
OE OE i j⊥≠ ,
1
3) направленные отрезки 12 3
OE,,
OE OE образуют правую тройку, т. е. с
конца последнего из них кратчайший поворот первого до второго кажется
происходящим против часовой стрелки (Рис. 2).
Для векторов, определяемых отрезками 12 3
OE,,
E 3
e3
O e2
e1
E1
,,
Рис. 2
зиса ( 12 3ee e ) в пространстве t
E2
(иногда ,,x yzee e или ,,
использовать обозначения 12 3ee e
ij k ). ДекартоOE
OE , мы будем
,,
ва система отсчета S может быть эквивалентно
определена заданием начала
отсчета O и правильно ориентированного
ортонормированного баV
при любом t .
Положение отмеченной точки A по отношению к декартовой системе
отсчета S в любой момент времени определяется ее радиус-вектором,
который можно разложить по базису ( 12 3
ye
rxe= ++ .
ee e ):
OA 12 3
,,
ze
При фиксированном начале отсчета O радиус-вектор точки A будем обозначать
также A
r , а для фиксированной точки A – r .
Арифметический трехмерный вектор
OA A
rr r
7
== ⎜⎟=⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
x
y
z
Стр.7
изображает положение точки A в момент t в координатном пространстве
3
. Соответствие между геометрическими и арифметическими векторами
r и r , задаваемое с помощью базиса
ee e(, , ) , является, как известно,
=
12 3
e
изоморфизмом линейных евклидовых пространств, т. е. взаимно однозначным
отображением, сохраняющим линейные операции и скалярное произведение.
Геометрическим
векторам 12 3ee e соответствуют арифметические
,,
векторы
ee e
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
12 3== =
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
10 0
0, 1 , 0
00 1
.
1.4. Неизменяемые системы, твердые среды и тела
В механике широко используются близкие по смыслу понятия «неизменяемая
система», «твердое тело», «твердая среда». Мы будем использовать
их в следующих значениях.
Неизменяемой системой будем называть любую совокупность отмеченных
точек, расстояния между которыми остаются неизменными во
времени. Например, декартова система отсчета является неизменяемой, так
как расстояния между точками O и i
E , по определению, постоянно равны
1, а отсюда следует, очевидно, что расстояния между различными iE также
постоянны и равны 2 .
Если неизменяемая система в любой момент t заполняет все пространство
t
E , то она называется твердой средой. Например, множество Σ всех
отмеченных точек, неподвижных (т. е. имеющих постоянные координаты)
относительно заданной декартовой системы отсчета S , есть твердая среда.
Термин твердое тело используется в литературе не вполне однозначно,
но всегда означает неизменяемую систему, обладающую (возмож8
Стр.8