В пособии приведены примерные варианты двух контрольных работ по изучаемой тематике. <...> В учебном пособии также приведены примерные варианты двух контрольных работ. <...> Область определения и множество значений при соответствии. <...> Образы и прообразы элементов и множеств при соответствии, полный прообраз элемента и множества. <...> Четырехугольнику соответствует: 1) точка пересечения его диагоналей; 2) множество центров всех окружностей, не пересекающихся с его сторонами; 3) центр вписанной в него окружности. <...> 1) Так как у каждого выпуклого четырехугольника существует единственная точка пересечения диагоналей, то данное соответствие является функциональным, всюду определенным соответствием, то есть отображением. <...> 3) Соответствие является функциональным, но, так как не в любой четырехугольник можно вписать окружность, оно не всюду определено: его область определения – множество таких четырехугольников, в которые можно вписать окружность. <...> Это и есть полный прообраз множества B. <...> Определите, какие из приведенных ниже соответствий являются всюду определенными, функциональными, сюръективными, инъективными и биективными: 1) каждому автомобилю ставится в соответствие регистрационный номер; 2) каждому квадрату на плоскости ставится в соответствие точка пересечения его диагоналей (область отправления – множество всех квадратов на плоскости; область прибытия – множество всех точек плоскости); 3) соответствие, заданное формулой y 1 cos . x ► 1) Соответствие не всюду определено, так как есть автомобили без регистрационных номеров (например, новые); функционально, так как каждому автомобилю ставится в соответствие ровно один номер; не сюръективно, так как существуют регистрационные номера, не принадлежащие никакой машине; инъективно, поскольку разным автомобилям соответствуют разные номера; не взаимно однозначно. <...> 2) Соответствие всюду определено и функцио7 6 6 нально, так как у каждого квадрата есть точка пересечения <...>
Введение_в_анализ_практикум_по_решению_задач_учебное_пособие.pdf
ББК 22.161.0я73
Г68
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Вятского государственного гуманитарного университета
Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор
Е. М. Вечтомов
кандидат физико-математических наук, доцент
В. И. Варанкина
учитель высшей категории
физико-математического лицея г. Кирова
М. А. Прокашева
Г68 Горев, П. М. Введение в анализ: практикум по решению задач [Текст]:
учебное пособие / П. М. Горев, И. И. Подгорная. – Киров: Изд-во ВятГГУ,
2006. – 66 с.: ил.
Учебное пособие посвящено основным разделам курса «Введение в анализ» и содержит материал
к 15 тематическим занятиям, включающий примеры с готовыми решениями, задачи
для обсуждения в аудитории и самостоятельной работы, тесты «Проверь себя». В пособии
приведены примерные варианты двух контрольных работ по изучаемой тематике.
Книга предназначена для студентов младших курсов физико-математических специальностей
педагогических вузов, а также может быть адресована в качестве дополнительной литературы
старшеклассникам школ и классов с углубленным изучением предмета.
© Издательство ВятГГУ, 2006
© Горев П.М., Подгорная И.И., 2006
3
Стр.3
Содержание
Предисловие ........................................................................................................................ 3
Программа вводного минимума ..................................................................................... 5
Занятие 1. Соответствия и отображения ....................................................................... 6
Занятие 2. Числовые функции ........................................................................................ 9
Занятие 3. Обратная функция ....................................................................................... 13
Занятие 4. Свойство ограниченности функции .......................................................... 17
Занятие 5. Свойство монотонности функции ............................................................. 21
Занятие 6. Четные и нечетные функции ...................................................................... 24
Занятие 7. Периодические функции............................................................................. 27
Занятие 8. Последовательности .................................................................................... 31
Занятие 9. Предел последовательности ....................................................................... 34
Занятие 10. Предел функции......................................................................................... 37
Занятие 11. Вычисление пределов ............................................................................... 42
Занятие 12. Замечательные пределы и их следствия ................................................. 46
Занятие 13. Ограниченные множества и точные грани ............................................. 49
Занятие 14. Непрерывность функции в точке ............................................................. 54
Занятие 15. Свойства непрерывных функций ............................................................. 57
Примерные варианты контрольных работ
Контрольная работа № 1. Функции и их основные свойства .................................... 61
Контрольная работа № 2. Предел, непрерывность, точные грани ........................... 62
Ответы к тестам «Проверь себя» .................................................................................. 63
Библиографический список ........................................................................................... 65
68
Стр.68