Дифференцирование Учебно-методическое пособие для вузов Составители: Ю.Б. Савченко С.А. <...> Ткачева Воронеж 2012 2 Утверждено научно-методическим советом математического факультета 14 декабря 2012 года протокол № 0500-09 Рецензент: д.ф-м. н., проф. <...> Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре уравнений в частных производных и теории вероятностей математического факультета Воронежского государственного университета Рекомендуется для студентов 1 курса очной формы обучения геологического факультета, обучающихся по специальностям: 020700 – геология 3 1. <...> Число a называется пределом последовательности n если для любого lim x an n x an , 0 существует число N N при Nn . <...> Для любого числа E 0 существует номер N такой, что при n N выполняется неравенство | x En | Последовательность nx называется бесконечно большой, если . lim n n xn 1 , Теорема 1.1. <...> Если nx - бесконечно большая последовательность, то (xn 0 - бесконечно малая последовательность, если ) бесконечно малая последовательность, то большая последовательность. <...> Последовательность называется бесконечно малой, если 0 x x ,.,xn,… <...> Начиная с какого номера значения каждой из них по абсолютной величине остаются меньше 0 001, 3. <...> При отыскании предела отношения многочленов относительно x , при x оба члена отношения разделим на n наивысшая степень этих многочленов. n m n m n m Предел частного двух многочленов при коэффициентов при старших членах, Пример 7. <...> Числитель и знаменатель дроби являются суммой n членов соответствующих арифметических прогрессий. <...> Найти поэтому lim sin x x x0 Пример 12. получаем lim sin 0 x Решение. <...> Положим lim sin 0 a Найти sin lim sin x0 bx x lim x0 Пример 13. sin sin x sin lim sin 0 bx x x x неопределенность Решение. <...> Определение производной предел при x0 lim Производной функции 0x f x f x( ) x x y f ( )x lim x0 / в точке <...>
Математика._Функции_одной_переменной._Пределы._Дифференцирование.pdf
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
“ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ”
(ФГБОУ ВПО «ВГУ»)
МАТЕМАТИКА
Функции одной переменной. Пределы. Дифференцирование
Учебно-методическое пособие для вузов
Составители: Ю.Б. Савченко
С.А. Ткачева
Воронеж
2012
Стр.1
3
1. Предел переменной величины.
1.1. Предел числовой последовательности.
Число a называется пределом последовательности
n
если для любого
lim
x an
n
x an
,
0 существует число N N
при Nn .
Для любого числа E 0 существует номер N такой, что при n N
выполняется неравенство | x En |
Последовательность nx называется бесконечно большой, если
.
lim
n n
xn
1 ,
Теорема 1.1. Если nx - бесконечно большая последовательность, то
(xn 0 - бесконечно малая последовательность, если
)
бесконечно малая последовательность, то
большая последовательность.
1.2. Предел функции.
Число A называется пределом функции
0
сколь угодно малого
0 Axf ( )
x a
Аналогично
lim ( )
x
если | f x A)(
Запись
x 0a
x 0a
при | |x N
lim ( )xf
x a
f x A,
( ) .
означает, что
- произвольное положительное число.
Односторонние пределы. Если
; аналогично, если
. Числа
f a( 0) lim
пределом справа функции
x a 0
f x( ) и
f x E)(
x a
x a и
и
f a( 0) lim
при
0 ( )E , где E
x a
x a , то условно пишут
x a , то это записывают как
f x( )
x a 0
называются соответственно пределом слева функции f ( )x в точке a и
f ( )x в точке a (если эти числа существуют).
. Пишут lim ( )
xa
найдется такое
f x A.
f ( )x при x a , если для любого
0
, что при
1 ,
n
(
n 0)
n
- бесконечно
-
( ) такое, что
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.
Последовательность
называется бесконечно малой, если
0
x x ,...,xn,…:
1, 2
Стр.3
6
1)
3)
f x( )
2
8
x
f x( ) 2 ; 4)
2
1
x
; 2) f x
( )
( )
f x arctg
2
1.3. Нахождение пределов
теоремах:
Если существуют конечные пределы
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
xa
lim ( )
xa
lim ( )
( )
lim ( )
xa
g x
f x
lim n
xa
lim c c
xa
xa f x g x
xa f x g x
lim c f x
xa f x n
( ) lim ( )
xa
c
xa
lim ( )
lim ( )
x a
x a
g x
f x
f x
lim ( )
f x
f x
( ) lim ( ) lim ( )
xa
f x
f x ,
n
xa
xa
g x ;
(c const );
, (n - целое число, n 0);
(при
f x( ) n lim ( ) ;
xa
(c const ) .
Пример 4. Найти
lim(3 2
1
x
x
x
0
1
lim(3 2
1
x
x 2 4).
x
пределов, и константу можно выносить за знак предела, то
2 4)
=3lim x 2lim x lim 4=3· 2
x1
x1
P x b b x b x b x
n( ) 2
lim (3x x 3x x 4)=
x1
4
4
3
2
2
= ( )
Пример 5. Найти lim 5x 4 7
x
lim 5x 4 7
x
2
x1 x
2
x
Так как предел частного равен частному пределов, то
2 3
=
lim (5x 4 7)
x1
x1 x 2 3
2
2
x
x
lim (x 2 3)
x1
2
x
=
5 1 4 1 7
2
1 2 1 2
2
1 22
.
3 1
2
5
4 1( )
4
3 1( )
3
2 1( )
2
.
2
...
n
при
x a достаточно найти P ( )an
5
, например,
4 3 4 3 2 4 4.
x1
Замечание 1. Чтобы вычислить предел многочлена
n
Так как предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме
2
1 +2·1-4=1.
lim ( ) 0
x a
g x
);
Практическое вычисление пределов основывается на следующих
и
lim ( )xf
x a
g x ;
lim ( )xg
x a
, то
(x )2 2 ;
1
4
x
.
Стр.6
7
Q( ) 0a
Замечание 2. Если P( )x и Q( )x - целые многочлены и P( ) 0a
, то предел рациональной дроби
( )
lim ( )
x a
непосредственно, т.е.
Если же
lim
x
x2 x
2
2
x
( )
( )
lim ( )
xa
Q x
P x
( )
один или несколько раз на x a .
Пример 6.
3 2
4
( 2)( 1) lim)2)(2
lim (
x
x2 x
x
x
x2
x
x
lim ( ) 1 2
0
xa
1
R x a a x a x a x
...
2
n
b b x b x b x
0 2
2
m
m
n
b
a
n
n
0
,
1 42
.
Замечание 3. При отыскании предела отношения многочленов
относительно x , при x оба члена отношения разделим на n
наивысшая степень этих многочленов.
n m
n m
n m
Предел частного двух многочленов при
коэффициентов при старших членах,
Пример 7. Найти
Решение.
x
3x 1
3
x
x
x
3x 1
3
x
lim 2 3(3 5)(4 6)
x
x
x
= lim
x
x
2
x
3 1
x равен отношению
если степени числителя и
знаменателя равны; предел этот равен 0 или , если степень числителя
соответственно меньше или больше степени знаменателя.
x
lim 2 3(3 5)(4 6)
x
x
.
2 3 (3 5)(4 6)
x
x0 3
1
x
x
Решение. Полагая 1 x y ,
6
Имеем:
lim 1
x0 3
1
x
x
1
1
=
lim 2
3
y
1 y
y
1
1
lim
y 11
2
1
y
yx y 1
= 2
3 .
1
1
1
x
3
рациональному виду путем введения новой переменной
Пример 8. Найти
.
Выражения, использующие иррациональности, приводятся к
lim 1
.
2 3 4
3
8
x , где n -
Q a
P a
( )
( )
.
P a Q a 0, то дробь
Q x
P x рекомендуется сократить
( )
( )
Q x
P x
и
находится
Стр.7
8
Пример 9. Найти
0
1 cos
lim sin
x
lim
x
3
1 cos
lim sin
2
x
x
Пример 10.
1 cos
lim 1 cos
x
1 cosx
x 1 cosx cos x
Найти
2
3
2
x
x
на множитель 1 cos , получим
2
x
3
x
lim
.
Решение. Разлагая числитель и знаменатель на множители, сокращая
x
1 ( 1) ( 1)
1 ( 1)
x
x (1 cosx)(1 cosx cos x)
2
(1 cosx)(1 cosx)
3.
2
lim 1 3 5 ... (2 1) .
n
1 2 3 ...
x
lim 2n
lim sin
0
lim 1 3 5 ... (2 1)
1 2 3 ...
x n
x
n
n
n
1,
1
lim
x
1 1 2.
1 2 lim 1
Имеют место два замечательных предела
1)
2)
lim 1
0
При нахождении пределов вида
lim ( ) ( )
xa
2)
то C A ;
lim ( )x B,
B
xa
3) если lim ( )x A 1 и
xa
xa
где
C lim 1
xa
и
lim ( )x
x a
( ) 1 ( )
x
x
( ) ( )
x
(11)
lim ( )x
x a
предела (10) решается непосредственно;
4) если lim (x) 1
exa
(x)0 при x a и, следовательно,
x
lim ( ) ( )
x
x
, то вопрос о нахождении
, то полагают
exa
lim ( ) 1 ( )
x
x
( )x 1
.
(x),
x x
C
следует иметь в виду, что:
1) если существуют конечные пределы
lim ( )x A и
xa
e ,
( 8 )
( 9 )
( 10 )
2
n
Решение. Числитель и знаменатель дроби являются суммой n членов
соответствующих арифметических прогрессий. Находя эти суммы, получим
n
1 (2 1) n
1
2
n n
lim 1 (2 1)
n
x
1 n
2
Стр.8