Глызин, А. О. Толбей ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ ОБЫКНОВЕННЫХ Учебное пособие Рекомендовано Научно-методическим советом университета для студентов, обучающихся по специальностям Прикладная математика и информатика и Прикладная математика в экономике Ярославль 2011 УДК 517.91 ББК В 161.61я73 Г 55 Рекомендовано Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного издания. <...> К. Д. Ушинского Глызин, С. Д. Практикум по курсу обыкновенных дифференциальных уравнений: учебное пособие / С. Д. Глызин, А. О. Толбей; Яросл. гос. ун-т, Г 55 им. <...> ISBN 978-5-8397-0816-7 В книге содержатся материалы для упражнений по курсу «Обыкновенные дифференциальные уравнения», она включает в себя краткое изложение методов решения, проиллюстрированное подробным разбором, ряда задач, а также подборку заданий для контрольных работ по курсу. <...> Последовательные приближения и метод малого параметра 60 4.1. <...> В первой из них обсуждаются уравнения первого порядка. <...> Подробно рассматриваются уравнения с разделяющимися переменными, линейные дифференциальные уравнения, уравнения в полных дифференциалах, а также некоторые сводящиеся к ним. <...> Для неоднородных уравнений и систем изложен метод неопределенных коэффициентов и метод вариации произвольных постоянных. <...> В частности, обсуждаются практические аспекты применения первого и второго методов Ляпунова, приведены примеры использования критериев устойчивости многочленов. <...> В главе также содержится сводка правил построения и результатов решения задач по определению фазового портрета линейной системы с постоянными коэффициентами на плоскости. <...> В последней главе пособия собраны задачи на построение методом последовательных приближений и методом малого параметра приближенных решений начальной задачи Коши обыкновенных дифференциальных уравнений. <...> Пособие в большей степени предназначено для того, чтобы проиллюстрировать ряд ключевых проблем, изучаемых в курсе обыкновенных <...>
Практикум_по_курсу_обыкновенных_дифференциальных_уравнений_учебное_пособие.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
С. Д. Глызин, А. О. Толбей
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ПРАКТИКУМ ПО КУРСУ
ОБЫКНОВЕННЫХ
Учебное пособие
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов, обучающихся по специальностям
Прикладная математика и информатика и
Прикладная математика в экономике
Ярославль 2011
Стр.1
УДК 517.91
ББК В 161.61я73
Г 55
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2010 / 2011 учебного года
Рецензенты:
Цыганков М.П., доктор физико-математических наук, профессор;
кафедра теории и методики обучения информатике Ярославского государственного
педагогического университета им. К. Д. Ушинского
Глызин, С. Д. Практикум по курсу обыкновенных дифференциальных уравнений:
учебное пособие / С. Д. Глызин, А. О. Толбей; Яросл. гос. ун-т,
Г 55 им. П.Г. Демидова. – Ярославль: ЯрГУ, 2011. – 68 с.
ISBN 978-5-8397-0816-7
В книге содержатся материалы для упражнений по курсу «Обыкновенные
дифференциальные уравнения», она включает в себя краткое изложение
методов решения, проиллюстрированное подробным разбором, ряда задач,
а также подборку заданий для контрольных работ по курсу.
Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальностям
010200.65 Прикладная математика и информатика и 080801.65
Прикладная математика в экономике, дисциплина «Дифференциальные
уравнения» (блок ЕН), очной формы обучения.
Рис. 10. Библиогр.: 11 назв.
УДК 517.91
ББК В 161.61я73
ISBN 978-5-8397-0816-7
○ Ярославский
государственный университет
c
им. П.Г. Демидова, 2011
Стр.2
Оглавление
Введение
1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
первого порядка
4
5
1.1. Уравнения с разделяющимися переменными . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка . . . . . . . 11
1.3. Уравнения в полных дифференциалах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4. Варианты контрольной работы № 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2. Линейные дифференциальные уравнения
и системы
20
2.1. Линейные дифференциальные уравнения старших порядков с постоянными
коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2. Формула Остроградского–Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3. Линейные системы с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . 27
2.4. Матричная экспонента и способы ее вычисления . . . . . . . . . . . . 36
2.5. Варианты контрольной работы № 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6. Варианты контрольной работы № 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3. Устойчивость решений дифференциальных
уравнений
43
3.1. Первый метод Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2. Метод функций Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3. Построение фазового портрета системы на плоскости . . . . . . . . . . 52
3.4. Варианты контрольной работы № 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4. Последовательные приближения
и метод малого параметра
60
4.1. Метод последовательных приближений Пикара . . . . . . . . . . . . . 60
4.2. Метод малого параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3. Краевые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.4. Варианты контрольной работы № 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Литература
67
Стр.3
Введение
Пособие для практических занятий по курсу «Обыкновенные дифференциальные
уравнения» содержит подборку задач с решениями и кратким изложением необходимых
теоретических сведений. Материал разделен на четыре главы.
В первой из них обсуждаются уравнения первого порядка. Подробно рассматриваются
уравнения с разделяющимися переменными, линейные дифференциальные
уравнения, уравнения в полных дифференциалах, а также некоторые сводящиеся
к ним. Глава завершается вариантами контрольной работы по уравнениям первого
порядка.
Вторая глава посвящена линейным уравнениям старших порядков и системам
обыкновенных дифференциальных уравнений. В первую очередь и достаточно подробно
рассмотрены уравнения и системы с постоянными коэффициентами. Для
неоднородных уравнений и систем изложен метод неопределенных коэффициентов и
метод вариации произвольных постоянных. Для линейных уравнений с непостоянными
коэффициентами рассмотрены способы понижения порядка уравнения с помощью
теоремы Остроградского–Лиувилля в случае, когда известно какое-либо нетривиальное
решение. В главе также обсуждаются методы построения матричной экспоненты.
В силу важности данной темы по линейным уравнениям и системам запланировано
две контрольные работы, в конце второй главы содержится подборка соответствующих
задач.
Задачи по теории устойчивости и некоторые связанные с ними вопросы рассмотрены
в третьей главе. В частности, обсуждаются практические аспекты применения
первого и второго методов Ляпунова, приведены примеры использования критериев
устойчивости многочленов. В главе также содержится сводка правил построения и
результатов решения задач по определению фазового портрета линейной системы с
постоянными коэффициентами на плоскости. Как и предыдущие главы, данная глава
завершается вариантами контрольной работы по этой теме.
В последней главе пособия собраны задачи на построение методом последовательных
приближений и методом малого параметра приближенных решений начальной
задачи Коши обыкновенных дифференциальных уравнений. В третьей части главы
обсуждаются способы и приводится пример решения краевых задач и построения
функции Грина. Как обычно, глава завершается вариантами контрольной работы.
Наша книга не ставит целью дать свод задач по обыкновенным дифференциальным
уравнениям, для этого имеются ряд специализированных сборников задач [1–6],
среди которых в первую очередь следует отметить книгу А.Ф. Филипова, пережившую
большое количество переизданий (см., например, [1, 2]) и сборник коллектива
авторов (М. Л. Краснов, А. И. Киселев, Г. И. Макаренко) [3]. Пособие в большей
степени предназначено для того, чтобы проиллюстрировать ряд ключевых проблем,
изучаемых в курсе обыкновенных дифференциальных уравнений, и способствовать
лучшему пониманию и усвоению соответствующего материала.
4
Стр.4