Пространство элементарных событий Ω содержит два элемента. <...> В этом случае возможными исходами опыта являются появления верхней грани с одной из указанных цифр – элементарные события ω k , k = 1,6 . <...> Подбрасываются одновременно две игральные кости один раз. <...> Событие Ak - студент знает
9
k -ый теоретический вопрос, Bk - знает k -ый практический во-
прос, k = 1, 2 . <...> т.е. если пространство Ω состоит из m равновозможных элементарных событий, то вероятность события A , содержащего k элементарных событий (говорят, что k элементарных событий благоприятствуют наступлению события A ), равна отношению:
12
P ( A) =
k n ( A)
=
.
m n (Ω) <...> Найти вероятность того, что среди отобранных деталей окажется ровно m стандартных (событие A ). <...> | В данной задаче за элементарные события естественно
взять набор – сочетания, составленные из N деталей по n деталей в
каждом. <...> Элементарные события, входящие в событие
A , по условию задачи, содержат по n деталей и состоят их двух час-
13
тей: набора из m стандартных и ( n − m ) нестандартных деталей. <...> Так
как набор из m стандартных деталей составляется из M стандартных
m
деталей (их число равно CM
), а набор из n − m нестандартных дета-
лей выбирается из N − M нестандартных деталей (их число равно
C Nn −−mM ), то число элементарных событий, входящих в событие A ,
m
⋅ C Nn−−mM . <...> Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей 4 стандартных. <...> Из колоды карт (52 карты) наудачу извлекаются
три карты. <...> Предполагается, что вероятность попадания точки в часть круга пропорцио-
18
нальна площади этой части и не зависит от ее расположения относительно круга. <...> Предполагается, что вероятность попадания
пули в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры. <...> 2.3
вероятность попадания точки в плоскую
фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от
её расположения относительно большого круга. <...> Определить вероятность попадания бомбы в объект площадью 1500 м2, если сброшенные бомбы с самолёта равномерно <...>
Математика_для_экономистов_в_примерах_и_задачах._Часть_III._Учебное_пособие.pdf
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Казанский государственный технологический университет
Р.Ш. Хуснутдинов, В.А. Жихарев
МАТЕМАТИКА
ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ
В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ
Часть 3
Учебное пособие
Казань
КГТУ
2010
Стр.1
УДК 517
ББК 22.1
Р.Ш. Хуснутдинов
Математика для экономистов в примерах и задачах. Ч. 3:
учебное пособие/ Р.Ш. Хуснутдинов, В.А. Жихарев.- Казань:
Изд-во Казан. гос. технол. ун-та, 2010. - 510с.
ISBN 978-5-7882-0963-0
Приведены необходимые теоретические сведения и формулы,
даны решения типовых задач, приведены задачи и упражнения
с пояснениями и ответами, а также варианты контрольных
работ и расчётных заданий.
Предназначается для студентов, аспирантов и преподавателей
социально-экономических специальностей, а также для
лиц, использующих экономико-математические методы в своей
практической работе.
Подготовлено на кафедре высшей математики.
(индекс учебной дисциплины – ЕН.1 математика)
Ил. 69, библиография 20 назв.
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Казанского государственного технологического университета.
Рецензенты:
зав. кафедрой математического
анализа ТГГПУ,профессор Ф.Г. Мухлисов,
профессор каф. высшей математики
КГАСУ И.П. Семёнов.
© Р.Ш. Хуснутдинов, В.А. Жихарев
Стр.2
Оглавление
Предисловие __________________________________________ 3
17. Вероятностное пространство_________________________5
17.1. Пространство элементарных событий. Случайные события
и действия над ними_____________________________________ 5
17.2. Понятие вероятности и вероятностного пространства.
Классическое определение вероятности ___________________ 10
17.3. Геометрическая вероятность ________________________ 17
17.4. Теоремы сложения и умножения вероятностей _________ 20
17.5. Вероятность появления хотя бы одного события________ 29
17.6. Повторение испытаний. Формула Бернулли ___________ 31
17.7. Асимптотические формулы в биноминальной схеме ____ 36
17.8. Формула полной вероятности. Формула Бейеса ________ 48
18. Дискретные случайные величины и их числовые
характеристики_______________________________________ 55
18.1. Ряд, многоугольник и функция распределения дискретных
случайных величин_____________________________________ 55
18.2. Операции над случайными величинами _______________ 64
18.3. Основные числовые характеристики дискретных
случайных величин_____________________________________ 73
18.4. Коэффициент корреляции. Прямые регрессии__________ 84
502
Стр.503
18.5. Моменты, асимметрия и эксцесс дискретной случайной
величины _____________________________________________ 87
19. Непрерывные случайные величины и их характеристики__________________________________________________
91
19.1. Абсолютно непрерывные случайные величины. Функция и
плотность распределения и их свойства___________________ 91
19.2.Основные
числовые
характеристики
непрерывных
случайных величин ___________________________________ 91
19.3. Равномерное распределение _______________________ 100
19.4. Показательное распределение. Функция надёжности и
показательный закон надёжности ______________________ 103
20. Нормальное распределение_______________________ 108
21. Двумерные непрерывные случайные величины и их числовые
характеристики ____________________________ 113
Контрольная работа по теме «Элементы теории
вероятностей» _______________________________________ 126
Содержание вариантов расчётного задания по теории вероятностей
______________________________________________ 130
Математическая стстистика _________________________ 166
22.Выборочный метод _______________________________ 166
22.1. Статистическое распределение выборочной
совокупности ______________________________________ 166
503
Стр.504
22.2 Графическое изображение выборочного распределения.
Полигон и гистограмма ______________________________ 172
22.3 Эмпирическая функция распределения ______________ 175
22.4. Генеральная и выборочная средние ________________ 178
22.5. Генеральная и выборочная дисперсии ______________ 183
23. Оценка параметров распределения ________________ 188
23.1. Несмещённость, эффективность, состоятельность оценки.
Точность оценки. Доверительная вероятность и доверительный
интервал ___________________________________________ 188
23.2. Оценки генеральной средней и доли ________________ 189
23.3. Вычисление необходимого объёма выборки _________ 197
23.4. Оценка генеральной дисперсии ____________________ 202
23.5. Определение доверительного интервала для генеральной
средней при малых выборках __________________________ 206
24. Статистическая проверка гипотез _________________ 210
24.1 Определение статистической гипотезы. Статистические
методы её проверки __________________________________ 210
24.2. Сравнение средних двух нормально распределённых
генеральных совокупностей ___________________________ 213
24.3. Сравнение средних нормальных генеральных средних при
малых выборках _____________________________________ 218
504
Стр.505
24.4. Сравнение выборочной средней с предполагаемым
значением генеральной средней ________________________ 221
24.5.Сравнение дисперсий двух нормальных генеральных
совокупностей ______________________________________ 226
24.6.Сравнение предполагаемой генеральной дисперсии с
исправленной дисперсией ___________________________ 230
25. Закон распределения _____________________________ 233
25.1. Критерий согласия 2
__________________________ 233
25.2. Критерий согласия Романовского _________________ 235
25.3. Критерий согласия Колмогорова __________________ 238
26. Регрессионный анализ ___________________________ 248
26.1. Корреляционная зависимость между случайными
величинами. Корреляционная таблица. Выборочные функции
регрессии _________________________________________ 248
26.2. Выборочные функции линейной регрессии. Выборочный
коэффициент корреляции. Прямые регрессии ___________ 252
26.3. Упрощенная схема вычисления параметров линейной
регрессии _________________________________________ 254
26.4. Построение доверительного интервала для коэффициента
корреляции. Проверка гипотезы о значимости выборочного
коэффициента корреляции ___________________________
259
505
χ
Стр.506
26.5. Нелинейная регрессия. Параболическая и гиперболическая
зависимости между зависимыми случайными величинами.
Корреляционные отношения _________________________
26.6. Множественная корреляция _____________________
262
266
27. Дисперсионный анализ _________________________ 278
27.1. Факторная и остаточная суммы и дисперсии. Решение
статистических задач методом дисперсионного анализа __ 278
27.2. Число испытаний на различных уровнях неодинаково_ 282
Содержание вариантов расчётного задания по математической
статистике ________________________________________
28. Линейное программирование ____________________
286
298
28.1. Общая задача линейного программирования _______ 298
28.2. Исследование системы ограничений и основные теоремы
линейного программирования __________________
299
28.3. Упрощенная схема симплексного метода решения
ЗЛП _____________________________________________ 305
28.4. Симплексный метод решения ЗЛП _______________ 313
28.5. Геометрические методы решения ЗЛП ___________
321
28.6. Метод искусственного базиса (М - метод) ________ 330
28.7. Алгоритм метода искусственного базиса ________
332
29. Двойственные задачи __________________________ 341
29.1. Двойственные задачи. Общие правила составления
506
Стр.507
двойственных задач _______________________________
29.2. Теоремы двойственности ______________________
30. Транспортная задача _________________________
341
346
357
30.1. Постановка задачи. Математическая модель транспортной
задачи. Основные теоремы __________________ 357
30.2. Опорное решение транспортной задачи и переход отодного
решения к другому. Распределительный метод в транспортной
задаче ___________________________________ 366
30.3. Построение начального опорного решения ________ 372
30.4. Метод вычеркивания ___________________________
30.5. Открытая модель транспортной задачи ___________
30.6. Транспортная задача с ограничениями ____________
30.7. Транспортная задача по критерию времени ________ 391
30.8. Алгоритм решения транспортных задач методом
потенциалов ______________________________________ 398
31. Целочисленное программирование ______________ 403
31.1. Метод отсечения (метод Гомори) _______________
378
379
384
403
Расчетное задание по теме "Линейное программирование" _ 409
32. Матричные игры ______________________________
426
32.1. Основные определения. Платежная матрица. Нижняя и
верхняя цена игры _________________________________ 426
32.2. Смешанные стратегии __________________________ 431
507
Стр.508
32.3. Решение матричных игр методом программирования __434
Список литературы ___________________________________ 441
Приложение 1_______________________________________ 443
Приложение 2 _______________________________________ 445
Приложение 3 _______________________________________ 446
Приложение 4_______________________________________ 448
Приложение 5______________________________________ 449
Приложение 6 ______________________________________ 450
Приложение 7 ______________________________________ 452
Приложение 8 _____________________________________ 453
Приложение 9 _____________________________________ 454
Приложение 10 ____________________________________ 456
Ответы ___________________________________________ 458
Оглавление _______________________________________ 502
508
Стр.509