МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
РЯДЫ
Учебно-методическое пособие для вузов
Составители:
Ф.В. Голованёва,
Е.В. Петрова
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2011
Стр.1
1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Определение. Пусть дана числовая последовательность 12 3
a
n ,… Выражение вида
aa a++ +……=∑a
1
12 3
+ +
a
называется числовым рядом.
Определение. Числа 12 3
11 2,, ,
a S a a2
1
n n=
.
S aa a3
3 = 1 + 2 +
nn
n
∞
=
aa a a
,, , , ,……n
(1)
называют членами ряда, a n –
S ……+ …nn
называют частичными суммами ряда (1). nS – n -ая частичная сумма.
общим членом ряда.
Определение. Суммы конечного числа первых членов ряда
== +
, S aa a3 +
=
тичных сумм { } 1
1 + 2 +
a ,
Частичные суммы ряда образуют числовую последовательность часS
∞
Определение. Ряд (1) называется сходящимся, если последовательность
его частичных сумм сходится к какому-нибудь конечному числу ,S
которое называется суммой ряда (1). Символически это записывается так:
Sa a a 12 3 …… илиSa Другими словами, ряд (1) сходитn
1
=+ + + + +an
ся, если существует и конечен lim .
n→∞SS
ствует или lim .
n→∞S
=∑ .
n =
∞
=
n
Определение. Ряд (1) называется расходящимся, если lim n
n =∞
Такой ряд не имеет суммы.
Рассмотрим некоторые свойства числовых рядов.
Свойство 1. Если сходится ряд 12 3
aa a
mm m 12 3
an
nm 1
n 1
∞
=
него ряда равна .uS
Свойство 3. Если сходятся ряды 12 3
имеющие соответственно суммы 1S и
2 ) ( 3 3
uu u
2
( ±+ ± + ± +…, причем сумма последнего ряда равна
± .
uv u v u v )
SS
11 2
) (
12
3
+ ++… и 12 3
vv v++ +…,
S , то сходится и ряд
n→∞S не сущеaa
a,, , ,…
+ ++…, то сходится и ряд
aa a++ +++ +…, получаемый из данного ряда отбрасыванием первых
∞
m членов. Ряд ∑ называется m-м остатком ряда (1).
=+
Свойство 2. Если сходится ряд (1) и суммой его является число ,S то
сходится и ряд ∑ , где u – произвольное число, причем сумма последuan
Стр.3
В этом случае исходный ряд ∑ называется абсолютно сходящимся.
n 1
∞
=
Сходящийся ряд ∑ называется условно сходящимся, если ряд
n 1
∞
=
∑ расходится.
Если ряд
n 1
∞
=
∑ абсолютно сходится, то ряд, полученный из него после
n 1
∞
=
un
любой перестановки его членов, абсолютно сходится и имеет ту же сумму,
что и первоначальный ряд.
Если ряд ∑ условно сходится, то при перестановке бесконечного
n 1
∞
=
un
множества его членов сумма ряда может измениться. В частности, при соответствующей
перестановке членов условно сходящегося ряда можно превратить
его в расходящийся ряд.
Абсолютно сходящиеся ряды с суммами 1
S и 2
SS S S S S2 )
и ряд uv uv v u uv u v u v )
дов с суммами 1S и 2
(
2 2
3 1
члена ряда.
Решение.
если n 4= , то 4
Если n 1= , то 1
4
u 11
= ; если
1
u 10001
=
n 2= , то 2
u 101
=
2
11 101 1001 10001
++ +
4
; если n 3= , то 3
; … Ряд можно записать в виде
12 3
+...
Пример 2. Найти общий член ряда 234
13 5 7 ...
22 2 2
+ ++ +
член прогрессии находим по формуле aa d n
6
n = +− . Здесь 1== ,
1
(
1)
1, 2
Решение.
Числители образуют арифметическую прогрессию 1, 3, 5, 7, …; n -й
ad
u 1001
=
3
;
Если ряды 12 3++ u+ + и 12 3
абсолютно и имеют соответственно суммы 1S и 2
11 1 2 1 2 ) ( 1 3
uu u +...
=+ =− .
...
12 1
n
(
...
vv v
1
Пример 1. Дан общий член ряда u =
n 10 1n
n
S можно почленно
складывать (вычитать). В результате получается абсолютно сходящийся
ряд, сумма которого
+ + ++ ++ + + +nn n 1u v )
(uv u v −
2 1
+ ++ + + сходятся
S , то сходится абсолютно
...+ +...
...
vn
...
Этот ряд называется произведением двух абсолютно сходящихся ряS
. Он абсолютно сходится, и его сумма равна 12
SS .
+ . Написать первые четыре
un
un
un
Стр.6
поэтому 21n=− . Знаменатели образуют геометрическую прогрессию
23
an
член ряда 21
2
n
n
2, 2 , 2 , ... ; n-й член этой прогрессии b = . Следовательно, общий
un = − .
n 2n
Вообще нужно иметь в виду, что несколько первых членов ряда полностью
ряд не определяют.
Пример 3. Исследовать сходимость ряда
21 1 1
33 6
++ + + +... 2 1 ...
⎛⎞
n− 1
12
3
⎜⎟ +
⎝⎠
2
Решение.
Данный ряд составлен из членов бесконечно убывающей геометрической
прогрессии и поэтому сходится. Найдем его сумму. Здесь 1 = ,
2
b 3
(знаменатель прогрессии). Следовательно,
1
S
гармонический ряд).
Решение.
Воспользуемся интегральным признаком сходимости знакоположительных
рядов.
Исследуем на сходимость несобственный интеграл.
+∞
∫∫ dx
11 1 , если
⎪ −
xx xbb b
⎩1
11
lim
dx== ⎪
b
→+∞
=+∞, если10 1 , если
− > =
⎨⎨ >⎪⎪−⎩
⎪
⎪
⎧+∞, если
⎪
⎩ −1, если10
+∞
1
Итак: ∫ x
1
ряд ()
1
∑n
n
∞
=
Согласно интегральному признаку сходимости, знакоположительный
1
∈ сходится при
> и расходится при
1
7
≤ 1.
−<
1 dx сходится, если
1
⎧
⎪+∞
→+∞
, если
=1
lim ⎨ −+1
≤1
1
> 1; расходится, если
≤ 1.
⎧ln , если
b
x 1
=1
=
≠1
= ==
−− .
b
11 1 2
q
23 4
3
Пример 4. Исследовать сходимость ряда ∑n
n 1
∞
=
1 ,
∈ (обобщенный
1
q 2
=
α
α
α
α
α
αα
α
α
α
α α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
Стр.7
Если
= , расходящийся ряд ∑ имеет специальное название –
n 1
1
∞
=
1
n
гармонический.
Пример 5. Исследовать сходимость ряда
0,6 0,51 0,501 ... 0,5 0,1 ...
n
++ ⎡⎤+
⎣⎦+
+ + ()
Решение.
Здесь lim 0,5 0
n→∞ un =
≠ и ряд расходится.
Пример 6. Исследовать сходимость ряда 11 1
25 8
v n
= :
1
n
lim lim31 3
n
nn
n
un
→∞vn
→∞
==
−
+ ++ +
...
3 1n − +...
1
Решение.
Сравним ряд с расходящимся гармоническим рядом, у которого
1
. Следовательно, исходный ряд расходится (по
признаку сравнения).
Пример 7. Исследовать сходимость ряда
23
12 3
35 7
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛
++ +...+
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝ 2n + ⎟ +... .
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜
n
⎞
1⎠
Решение.
Здесь удобно применить признак Коши, поскольку 21
n un = + , а
n
n
предел последней дроби находится просто:
== =
Cu n
n
nn n
→∞
n
→∞21 →∞
+
Так как
lim lim lim 1
n
2 +
Пример 8. Исследовать сходимость ряда
11
=
n
2
.
C 1 12
=< , то данный ряд сходится (по признаку Коши).
12 3
Решение.
Применим признак Д’Аламбера; имеем
un
u
n+1 =
n
2
()
10
n +1
10
; значит, ()
10
D== = 2.
n
li 22m
nn→∞lim
n
n
→∞
+ ⎛⎞
+
11
1
10
2ln2 3ln3 4ln4
111 1
...
++ +
8
+
⎜⎟
⎝⎠
Так как 21D=> , то исходный ряд расходится.
Пример 9. Исследовать сходимость ряда
() ()1 ln 1++ +...
nn
10
u n
n
22 2
10
+ ++ + +
n
23
10
= 2 ,
n
10
10
un+1
=
... 2 ...
n
()
1
2
n
+
n
1
+
10 ,
n
α
Стр.8