МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
ЗАДАЧИ ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА
по курсу
«Теория вероятностей и математическая статистика»
Практикум для вузов
Составители:
Б. Н. Воронков,
Т. А. Радченко
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2011
Стр.1
Предисловие
Данный практикум содержит задачи по теории вероятностей и математической
статистике, которые предлагались студентам факультета ПММ
на государственном экзамене в 1998–2011 годах. Разбор и решение представленных
задач может оказать студентам помощь в освоении курса теории
вероятностей и математической статистики, а также может быть полезным
при подготовке к выпускным экзаменам.
1. Задачи к экзамену на степень бакалавра, 1997/1998 уч. год
1. Случайная величина ξ задана плотностью распределения вероятностей
fx
= ⎪
()
⎧ −≤
2b
⎩0,
стей
fx Cx exp(
стей
f () = ⋅xC x , |х| ≤ 1.
3
Найти константу С, F(x), P(|ξ| < 0,3).
4. Случайная величина ξ задана функцией распределения вероятностей
Fx
=−Β⋅ − x
() 1 exp(
стей
Fx px
x
= ⎪
() 0,4, 1 0,
0,4 , 0 1,
⎧
⎪
⎪
⎪
0,
⎨ + <≤
⎩1,
− <≤
x ≤ −1,
x
>1.
Найти константу p, Mξ, Mη и Dη, где η = |ξ| + 1.
6. Производится испытание трех приборов. Вероятность отказа каждого
из них р = 0,1. Отказ любого прибора не влияет на работоспособность
3
T
),
x ≥ 0.
Найти константу В, Мξ, Р(Т ≤ ξ < 2Τ).
5. Случайная величина ξ задана функцией распределения вероятно()=⋅
⋅ −
x
2
2a
2 ),
x ≥ >
0, 0.
a
Найти константу С и вероятности P(ξ ≥ a) и Ρ(ξ < a).
3. Случайная величина ξ задана плотностью распределения вероятно⎨
⎪
−> =
1,,
xa b
x a b a b const.
, ,
Найти F(x), Mξ, P(ξ ≥ Mξ).
2. Случайная величина ξ задана плотностью распределения вероятно
Стр.3
3. Случайная величина ξ задана функцией распределения
0,
Fx px
x
() 0,2 , 0 1,
1,
= ⎪0,2,
⎧
⎪
⎨ +
⎩
⎪
⎪
функцию распределения:
− <≤1 0,
<≤
x ≤ −1,
x
>1.
Mξ = 0. Найти константу p, Mη и Dη, где η = 2|ξ| − 1.
4. Случайные величины ξ и η независимы и имеют одинаковую
x ≤1,
Fx c x
⎩
⎨
⎪
() ( 1), 1 3,
1,
⎧
= ⎪ ⋅− <
0,
x ≤
x > 3.
Случайные величины γ и ϕ определены следующим образом: γ = Αξ +
+ Βη, ϕ = Αξ − Βη. Найти константу «с», Мγ, Мϕ и коэффициент корреляции
между случайными величинами γ и ϕ.
5. Случайная величина ξ распределена по нормальному закону с параметрами
(a, σ2). Найти Мη и Р(η< b), если η= 2
π ⋅ ξ .
6. Методом моментов найти по выборке Х = (Х1, Х2, ...Хn) из генеральной
совокупности, имеющей распределение Лапласа
() 1 exp( ),
fx=− −∞< x <∞,
2
θθ
x
оценку параметра «θ».
7. По выборке Х = (Х1, Х2, ...Хn) из генеральной совокупности, имеющей
плотность распределения вероятностей
() 1( )
exp(
fxxa ,
=− − ), ≥θθ
xa
найти оценку максимального правдоподобия параметра θ и проверить ее
несмещенность.
8. В таблице приведены данные о фактическом сбыте товара (в условных
единицах) в пяти районах.
Район
1
Объем
сбыта
2
3
4
5
110 130 70 90 100
Согласуются ли эти данные с предположением, что объем сбыта в
районах одинаков? Принять уровень значимости α = 0,01.
6
Стр.6
9. При испытании аппаратуры фиксировалось число отказов у приборов.
Результаты испытаний 60 приборов приведены в таблице.
Число отказов 0 1 2 3
Число приборов 43 10 4 3
Согласуются ли эти данные с предположением о пуассоновском законе
распределения числа отказов? Принять уровень значимости α = 0,05.
10. При 20 подбрасываниях двух монет фиксировалось число выпадений
герба.
Количество выпавших
гербов
Число выпадений 6
0 1 2
8
6
Согласуются ли эти результаты с предположением о симметричности
монеты и независимости результатов отдельных подбрасываний?
Принять уровень значимости α = 0,05.
ятностей случайной величины ξ:
= ⎪
⎨
⎪
⎩
имеет вид
fx=− −
x
22π
exp(
() 1( 2)
8
величины ξ
Fx = ⎪
() 0,3, 1 0,
0,5, 0 2,
⎧
⎪
⎨
⎪
⎪
Найти Мη, Dη, P(η ≥ 5).
7
⎩1,
0,
x ≤−1,
x
x
x > 2.
− <≤
<≤
2
), −∞< x <∞.
Случайная величина η равномерно распределена в интервале [0, 2].
Найти Mγ, Dγ, если γ = ξ + η − ξη.
3. Случайная величина η = 4 + |ξ|. Функция распределения случайной
4. Задачи к госэкзамену, дневное отделение, 1998/1999 уч. год
1. Случайная величина η = |ξ| − 1. Плотность распределения веро⎧
⋅∈−
fx ax x
x
() ,1, 1 ,
0,
4
[
]
∉−1,1 .
[]
Найти константу «а», F(x), Mη, Dη.
2. Плотность распределения вероятностей случайной величины ξ
Стр.7
4. Случайная величина η = 1 + 3ξ, Мξ = 1, Dξ = 2. Вычислить Mη, Dη,
M(ξη) и коэффициент корреляции ρξη.
5. Случайная величина ξ задана функцией распределения вероятностей
Fx
px
x
() 0,1 ,
⎩1,
= ⎪0,1,
⎧
⎪
⎪
⎪
0,
⎨ +< ≤
>1.
x ≤−1,
x
− <≤1 0,
0 1,
Mξ = 0. Найти константу «р», Мη и Dη, если η = |ξ| + 2.
6. Найти коэффициент корреляции между случайными величинами ξ
и η, если Dξ = Α, Dη = B, D(ξ + η) = C.
7. Случайная величина ξ задана функцией распределения вероятностей
Fx
Ax x
Ax x
() 1exp(
= ⎧
⎩
⎨ − ⋅− > 0.
⋅ exp( ),
),
Найти плотность распределения вероятностей f(x), константу « A»,
Р(|ξ| < 2).
8. Случайная величина ξ задана плотностью распределения вероятностей
fx
= ⎪
()
⎨
⎪
⎪ ∈⎡ −γ + γ ⎤
⎪a x bb
⎢
⎣
⎥
⎦
⎪
⎩
⎣
,
⎥
⎦
⎧ 1,, ,22
0, x bb⎡ −γ+γ ⎤
⎪ ∉⎢ 22 .
Найти константу γ, функцию распределения F(x), Mξ и Dξ.
9. По выборке Х = (Х1, Х2, ... ХN) из генеральной совокупности, распределенной
по биномиальному закону с параметрами (k, p), найти методом
максимального правдоподобия и методом моментов оценку параметра «р».
10. По выборке Х = (Х1, Х2, ... ХN) из генеральной совокупности,
x
плотность распределения вероятностей которой
0,
пределилось следующим образом.
8
fx
() 1 exp( ),=−
θθ
x≥θ 0,> найти методом максимального правдоподобия и методом моментов
оценки параметра θ. Определить состоятельность найденных оценок.
11.
Число выпадений герба при 20 подбрасываниях двух монет рас≤
0,
Стр.8