К.А. Полуместная
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2011
Утверждено научно-методическим советом химического факультета
30 сентября 2010 г., протокол № 7
Рецензент канд. хим. наук, доцент В.Ю. Кондрашин
Методические указания подготовлены на кафедре аналитической химии
химического факультета Воронежского государственного университета. <...> В дальнейшем будем иметь дело с приложением общих положений математической статистики к решению задач физико-химического эксперимента. <...> Центральными понятиями математической статистики являются понятия
случайного события и случайной величины. <...> Случайное событие – событие, которое может произойти с различными, взаимоисключающими исходами; в теории вероятностей рассматриваются только те случайные события, для которых
возможна повторяемость (возможность многократного проведения эксперимента в одних и тех же условиях), а также наблюдается статистическая устойчивость частот (относительная частота – отношение числа выпадений
данного исхода к общему числу испытаний). <...> Случайная величина – переменная, принимающая различные значения
в зависимости от случая. <...> Случайная величина – это не число, а функция случая. <...> Случайная величина может быть дискретной (принимает некоторые
изолированные значения из конечного или бесконечного промежутка значений) или непрерывной (принимает все значения из данного конечного или
бесконечного промежутка значений). <...> Все возможные значения случайной
величины образуют генеральную совокупность (полную группу событий, если пользоваться терминологией теории вероятностей и математической статистики). <...> В настоящем методическом пособии основное внимание будет уделено
рассмотрению положений теории вероятностей в приложении к методам математической обработки результатов физико-химического эксперимента. <...> Испытаниями, например, являются: бросание игральной кости, выстрел из винтовки, измерение <...>
Введение_в_теорию_вероятностей.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Методические указания к семинарским занятиям
Составители:
О.В. Бобрешова,
А.В. Паршина,
К.А. Полуместная
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2011
Стр.1
СОДЕРЖАНИЕ
Введение............................................................................................................... 4
Элементы теории вероятностей......................................................................... 4
Понятие вероятности случайного события ...................................................... 6
Классическое определение вероятности события ........................................... 7
Статистическое определение вероятности события........................................ 8
Теоремы сложения и умножения вероятностей............................................. 11
Формула полной вероятности.......................................................................... 17
Формула Байеса................................................................................................. 19
Задачник............................................................................................................. 21
Рекомендуемая литература .............................................................................. 21
3
Стр.3
стны и одно из них обязательно происходит. Очевидно, что свойство противоположности
у них взаимное, т.е. АА
= .
Событие называется достоверным, если в данном испытании оно является
единственно возможным его исходом, и невозможным, если в данном
испытании оно заведомо не может произойти. Условимся обозначать достоверное
событие как U, а невозможное – V. Тогда АА U+= и AA V= . При
этом условие несовместности событий А и В может быть записано как
AB V= .
Пример 6. Испытание: извлечение шара из урны, в которой все шары белые.
Событие А – вынут белый шар – достоверное событие U; событие В – вынут
шар другого цвета – невозможное событие V. Заметим, что достоверное и
невозможное события в данном испытании являются противоположными.
Событие А называется благоприятным событию В, если наступление
события А влечет за собой наступление события В.
Пример 7. Испытание: бросание игральной кости. События A2, A4 и A6 –
появление соответственно двух, четырех и шести очков, а B – событие, состоящее
в появлении четного числа очков. События A2, A4 и A6 благоприятные
событию B.
результатов испытания, т.е. событий. Система несовместных событий
12 n
AA ... A U
Всякое испытание влечет за собой некоторую совокупность исходов –
A ,A ,...,A образует полную группу событий для данного испытания, если
при выполнении заданного комплекса условий одно из событий этой системы
должно обязательно произойти. Тогда очевидна справедливость равенства
12 n
тема A A,
++ + = . Простейшей полной группой событий является сис.
Очевидно, что в случае измерения физико-химической величины
невозможно перечислить все значения, которые могут быть исходами данного
испытания.
Понятие вероятности случайного события
В полной группе событий на появление некоторых результатов можно
рассчитывать с большим основанием, на появление других – с меньшим. Величина,
определяющая насколько значительны объективные основания рассчитывать
на появление события, называется вероятностью данного события.
Существуют следующие основные принципы задания вероятностей случайного
события: классический, геометрический и статистический. Мы подробно
остановимся на рассмотрении только двух из них.
6
Стр.6
Классическое определение вероятности события
Классическое определение вероятностей сводит это понятие к более
элементарному понятию равновозможных событий. Пусть событие A представляет
собой реализацию одного из m благоприятных случаев (1), входящих
в состав полной группы n равновозможных элементарных событий (2):
A C1 C ... C+++=
2
2
U C1 C ... C C 1m
= + + + + + . (5)+ +... C
m ,
m
n
Тогда вероятностью Р(А) события А называется отношение числа элементарных
событий n, благоприятных событию А, к числу всех равновозможных
элементарных событий m:
m
P(A) n= .
(6)
Наглядно классическое определение вероятности события А можно представить
следующим образом:
(4)
невозможное
событие 0 ≤ Р ≤ 1 достоверное
событие
Из приведенного классического определения вероятности вытекают
следующие ее свойства:
1) Вероятность случайного события есть безразмерная положительная величина,
заключенная между нулем и единицей. Действительно, случайному
событию А благоприятствует лишь некоторая часть m из общего числа n
элементарных событий. Поэтому 0 < n < m и 0 < (n/m) < 1. Таким образом,
0 < Р(А) < 1.
2) Вероятность достоверного события равна единице P(U) = 1.
3) Вероятность невозможного события равна нулю P(V) = 0.
При решении задач удобно пользоваться следующим алгоритмом.
1) Определить, в чем состоит событие А, вероятность которого требуется
найти.
2) Определить элементарные события, сводя испытание к совокупности
случаев. Следует помнить, что при выделении случаев исходят, как правило,
из интуитивных соображений о симметрии исходов и их равновозможности.
3) Определить количество m всех возможных случаев.
4) Определить количество n случаев, благоприятных событию А.
7
Стр.7
5) Рассчитать вероятность события А с помощью классического определения
по формуле (6).
Пример 1. Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 25. Какова
вероятность того, что взятый наугад учеником билет имеет однозначный номер?
Решение.
1)
Пусть событие А – взят билет с однозначным номером.
2) Элементарное событие: извлечение одного билета из общей стопки. Будем
считать, что каждый отдельный билет имеет одинаковую вероятность
быть выбранным, тогда элементарные события образуют полную группу
равновозможных несовместных событий.
3) Общее количество возможных исходов m = 25.
4) Число благоприятных событию А исходов n = 9 (выбраны билеты с номерами
от 1 до 9).
5) В соответствии с формулой (6) вероятность события A равна P(A) = 9/25.
зависимых элементов и для определения общего количества m вариантов
размещения n элементов по k вариантам (
Для определения общего количества m вариантов перестановок n неn
k,≠
ваны формулы комбинаторики (7) и (8) соответственно:
m n != ,
mk
n = − .
(
n k
n
!
)!
mk
n = −
(
n k k
n
!
)! !
n k> ) могут быть использо(7)
(8)
Если
нет необходимости учитывать порядок размещения n элементов по k
вариантам, то общее количество m вариантов их размещения уменьшается в
соответствии с формулой:
.
(9)
Пример 2. Для проверки партии, состоящей из 15 изделий, среди которых
находятся 5 бракованных, выбираются 3 изделия. Партия считается бракованной,
если браковано хотя бы одно изделие. Требуется найти вероятность
того, что партия не будет бракованной.
Решение.
1) Пусть событие A – из трех последовательно выбранных деталей нет ни
одной бракованной.
2) Элементарное событие: последовательное извлечение трех деталей из
партии. Такие элементарные события образуют полную группу равновозможных
несовместных событий.
8
Стр.8