Вестник Донского государственного технического университета №4 2010 (290,00 руб.)

Стр.1

Вестник ДГТУ, 2010. Т. 10. №4(47) ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ УДК 539.3 Д.А. ПОЖАРСКИЙ, А.А. МОЛЧАНОВ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УПРУГОЙ ПОЛОСЫ И КЛИНА Введение. Актуальность задач механики разрушения [1] не вызывает сомнений. Однако до сих пор были исследованы только задачи о трещине нормального отрыва в упругой полосе [2]. В настоящей работе строится асимптотическое решение задачи о трещине продольного сдвига в полосе. Задачи о трещинах тесно связаны с контактными задачами (в обоих типах задач возникают смешанные граничные условия) [3–5]. Реальная поверхность часто имеет микронеровности, поэтому контакт может происходить одновременно на нескольких участках. Для изучения дискретного контакта (взаимодействия нескольких штампов) важно заранее получить решение задачи о действии дополнительной сосредоточенной силы вне области контакта упругого клина [4, 5]. 1. Трещина сдвига в полосе. Постановка задачи. В декартовых координатах x, y рассмотрим упругую полосу {x (∞,∞); y [0,2h]} толщины 2h. Предполагаем, что в рамках линейной теории упругости материал полосы характеризуется двумя параметрами упругости: G – модуль сдвига и  – коэффициент Пуассона). Пусть обе грани полосы y  0, y  2h жестко заделаны (вариант А), находятся в условиях скользящей заделки (вариант Б) или свободны от напряжений (вариант В). В середине полосы при y  h имеется трещина продольного сдвига (разрез), занимающая область x (a,a), нагруженная по обоим берегам заданной касательной нагрузкой (x). Полагаем, что нормальное напряжение y  0 при x (∞,∞), y  h [1]. Требуется определить скачок касательного перемещения в области трещины u(x)  ux(x,h0). Затем может быть определен коэффициент интенсивности касательного напряжения в кончике трещины, ответственный (согласно критерию разрушения) за ее дальнейшее распространение. Асимптотическое решение. В силу одинаковости напряженно-деформированного состояния достаточно рассматривать лишь половину полосы 0yh. Для вывода интегрального уравнения относительно функции u(x) рассмотрим вспомогательные краевые задачи с граничными условиями вида y  0 : В)     0 ;  0 , u  0 ; 0 , y y y x y h : y y  0 : A) u  0 , u  0 ; y  0 : Б)  xy xy x   0 ; u  u x( ) . (1) (2) (3) (4) Здесь u(x)  временно известная функция, равная нулю при x (a,a). Для решения краевых задач (1)(4) воспользуемся общим решением дифференциальных уравнений равновесия Ламе плоской задачи теории упругости в форме ПапковичаНейбера и преобразованием Фурье. Затем для получения интегрального уравнения в области трещины используем граничное условие (с заданной правой частью) x x h   x( ), y ( , ) 447 (5) П я я и ы и н т вс е у г л К л и п оо н сл о м х к е ч . П о к в вра а чб ю о л ен ервс т а ы а а . и м л а о с я з ра ребри т д п а о о а т ч я ч ы а : т В н т т а е о и а – о и г е с и к л ру к п –ре у к о т к и и е р а реещит ш н н о я т а т с енн я о м н с , я в а я н и д д с а ьз ш д и ч щейн в г а у е з л е а к с а х а в по о т ел н я д ра н ы в л ре к ч л а г ы о х е н д з е з ае п х с м д ыернру е д а ри о о сг у и ч т раео з к ри ы н . а о г в и х вп а п у ру рири г й о н и н я л ра и а и , л г а д т а т о н ей с т с и х г и с с и с н о о ра и в м п т м и с о е ч р с а ы д ш н е н т и к ы с о н х у т и . м л ч о г и о и о ен рав н нй н с и й ч а в л н м еи ш в ы н ы у н н и с и е л х о -

Стр.1