Ключевые слова: оптимизационный метод деформируемого многогранника, приближенный энергетический метод (метод верхней оценки (МВО)). <...> В связи с этим примененный в настоящей
работе оптимизационный метод деформируемого многогранника [3] следует считать вполне приемлемым для любых оптимизационных расчетов процессов ОМД, носящих как исследовательский, так и учебный характер. <...> Например, этот метод позволил с высокой степенью наглядности впервые сформулировать методику расчета объемной штамповки, основанную на решении последовательности обратных задач формоизменения [5], и распространить ее на задачи многошаговой оптимизации этих процессов, решаемые по схеме обратной прогонки метода динамического программирования <...> В дальнейшем с целью анализа
возможностей безградиентного метода деформируемого многогранника эта
же задача решалась с применением приближенного энергетического метода [2] и выполнялись соответствующие эксперименты, подтвердившие результаты теоретических расчетов. <...> МВО – метод вариационный, в связи с чем
кинематически возможные поля скоростей (КВПС) в общем случае строятся
с варьируемыми параметрами, истинное значение которых определяется в
процессе минимизации целевой функции – безразмерного удельного усилия деформирования:
)
(
q
= 0.5 ⋅ Σ(l i ⋅ vi ) + 2 ⋅ µ ⋅ Σ(l j ⋅ v j ) . <...> (1), в случае применения оптимизационного метода деформируемого многогранника предполагает: <...> Применение этих правил в целях определения истинных –
реализующихся – значений варьируемых параметров КВПС в процессах
штамповки достаточно подробно рассмотрено в работе [2]. <...> Общий характер КВПС определяется тем, что поле свидетельствует
о течении металла как вверх, в полость штампа, так и вбок, по направлению к облойной щели. <...> Интенсивность течения металла в полость штампа
определяется величиной вертикальной составляющей зоны 2. <...> 1
имеется и второе обозначение, используемое при программном построении
357
Раздел «Технология <...>
Вестник_Донского_государственного_технического_университета_№4_2002.pdf
Вестник ДГТУ, 2002.Т.2.№4(14)
МАТЕМАТИКА
УДК 517.91
М.И. АЛЕКСЕЙЧИК
О СТАЦИОНАРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
ISBN 5-7890-0233-1
Исходная система линейных дифференциальных уравнений разрешается
некоторым симметричным образом относительно каждой скалярной
переменной. Исследуется взаимосвязь исходной и скаляризованной систем.
Особое внимание уделено случаю экспоненциальных и гармонических возмущений.
По рассмотренному кругу вопросов и форме изложения материала
настоящая статья примыкает к работам [1 - 4].
1. Скаляризация системы линейных дифференциальных
уравнений
смотрим уравнение
где ( )t
f
1.1. В n -мерном комплексном евклидовом пространстве En расx
A f ( )tx +=&
,
- функция класса Cn− 1 .
Совокупность собственных значений
чим ( )A .
Примем jk = −1
где
W D ID
( )=
( ) k
k
i
, 1 ≤ ≤k n,
i1 = trA = + + n,
n−1
ную переменную
+ + 1
(A j I D
)
1 L K,in = = L n
A
n 2− L An−1
+ +
Заменив в (3) и (4) оператор дифференцирования D на комплекс,
получим выражения w ( ) W ( ) . Отметив, что
,
(
+ j A
1
и
w ( ) = −I A , W w( )( I A− ) 1−
( ) =
A, а ( )W есть матрица, присоединенная к
I A−
трактовать как оператор, “присоединенный” к оператору
k -ю строку матрицы W ( ) обозначим W ( )k
.
[4]. Каждое решение (1) удовлетворяет уравнению
( ) ( )
w D x t W D f
=
( ) ( )t
.
(6)
Предложение 1, соотношения (5) и нижеследующая теорема 3 доказываются
путем: 1) непосредственной проверки в случае диагональной
матрицы A; 2) применения подходящего преобразования подобия в случае
диагонализируемости A; 3) учета того факта, что всякая n n× -матрица
347
(5)
можем констатировать, что w ( ) есть характеристический полином для
(что позволяет W ( )D
I AD− ).
+ + n−1I). (4)
+ 1
1
суть инварианты [5] матрицы A. Введем дифференциальные операторы
( ) (
w D D= − 1)L(D − n )(≡ D j Dn 1− L j
n
+ + n),
n 2− L j
(2)
(3)
1,K матрицы A обозна,
n
(1)
а
и ч
Р нюн л
с й е
е
с . в
К
м
а
т
р
и
в
а
ю о
с
т
с
я н
ы
е
л
е
к
о
т
в
о
р
а
:
ы
с
т
е с
ц
а
в
о
и
й
о
с
н
т
а
в
р
н
а р
е
ы
е
ш
л
е
и
н
н
и
е
й
й л
ы
н
и
е
н
е
д
й
и
н
н
ы
а
х д
м
и
ч
и
е
ф
с
ф
к
и
е
е
р
е
с
н
и
с
ц
т
и
е
а
м
л
ь
ы
.
н
ы
х у
р
а
в
-
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
σ
λ λ
λ
П
р
е
λ
λ
λ
д
л
о
ж
е
н
и
е
λ
1
λ
λ
λλ
λ
λ
λ
Стр.1