Комплексный анализ в матричных областях (150,00 руб.)

Стр.1

Стр.2

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Стр.6

Стр.7

Стр.8

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство высшего и среднего специального образования Республики Узбекистан Сибирский федеральный университет Национальный университет Узбекистана имени Мирзо Улугбека Г. Худайберганов, А. М. Кытманов, Б. А. Шаимкулов КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ В МАТРИЧНЫХ ОБЛАСТЯХ Монография Красноярск, Ташкент 2011

Стр.1

УДК 517.55 ББК 22.161 Х98 Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, проф. Л.А. Айзенберг д-р физ.-мат. наук, проф. А.К. Варисов Х98 Худайберганов, Г. Комплексный анализ в матричных областях / Г. Худайберганов, А.М. Кытманов, Б.А. Шаимкулов. – Красноярск: Сибирский федеральный ун-т, 2011. – 290 с. ISBN 978-5-7638-2199-4 Монография посвящена комплексному анализу в матричных областях многомерного комплексного пространства. В ней рассмотрены интегральные представления для голоморфных функций и их различные приложения к вопросам голоморфного продолжения, построению локального вычета и др. Предназначена для студентов, аспирантов и специалистов по многомерному комплексному анализу. УДК 517.55 ББК 22.161 ISBN 978-5-7638-2199-4 © Сибирский федеральный университет, 2011 © Национальный университет Узбекистана имени Мирзо Улугбека, 2011

Стр.2

Оглавление Предисловие……….…………………………………………………...8 ГЛАВА 1. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ И ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ ОТ НЕСКОЛЬКИХ МАТРИЦ .………………………………………………….9 § 1. Некоторые матричные области в пространстве  ……..9 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. Матричный единичный круг…………..…………………..9 Матричная верхняя полуплоскость………..……………11 Матричный единичный поликруг…………………..…...11 Матричный шар…………….……………………….……12 Матричная область Зигеля второго рода…….…….........13 Матричная область Рейнхарта.…………………………..13 § 2. Степенные ряды от матриц…………………………………….….16 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. Матричная норма …………………………….……..........16 Степенные ряды в  ……………….....………….17 Формула Коши-Адамара…………………………………22 Области сходимости степенных рядов………….………23 Степенные ряды в  .……….………………….24 Критерий (абсолютной) сходимости……………………25 Логарифмически выпуклая оболочка области в  ........………...………………………………………….27 2.8. Теорема Гартогса………………….……………………..29 § 3. Голоморфные функции и области голоморфности в .……………………………………………………………...30 3.1. Определения………………………………………………30 3.2. Связь между голоморфными функциями от nm2 переменных и голоморфными функциями от нескольких матриц …………………………………………………………….33 3.3. Области сходимости – области голоморфности…..........35 3

Стр.3

3.4. 3.5. Кратная интегральная формула Бохнера-Хуа Локена ....36 Доказательство основного результата главы 1…………40 Примечания к главе 1……………..…………….……..……………….44 ГЛАВА 2. МНОГОМЕРНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ МОРЕРА...45 § 4. Многомерные граничные теоремы Морера в поликруге и шаре45 4.1. 4.2. 4.3. Известные результаты…….………………………..........45 Граничная теорема Морера для поликруга…….………48 Граничная теорема Морера для шара………….……….52 § 5. Условия существования аналитического продолжения функций в классических областях…………………………………………………56 5.1. 5.2. 5.3. Классические области…………………………….……...56 Условия существования продолжения………….………59 Граничные теоремы Морера для классических областей.…………………………………………………………...66 § 6. Многомерные граничные теоремы Морера для неограниченной реализации поликруга и шара…………………………………………70 6.1. Граничная теорема Морера для неограниченной реализации поликруга…………………………………...………70 6.2. Граничная теорема Морера для неограниченной реализации шара………………………………………..................77 Примечания к главе 2…………..………………………………………91 ГЛАВА 3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ КАРЛЕМАНА В МАТРИЧНЫХ ОБЛАСТЯХ…………..……………92 § 7. Интегральные представления……………………..………………92 7.1. Автоморфизмы матричного шара……….…….…………93 7.2. Интегральная формула Бергмана для матричного шара...…………………………………………………………….102 7.3. Ядра Коши-Сеге и Пуассона для матричного шара.….105 § 8. Формулы Карлемана……………..………………………………115 4

Стр.4

8.1. Формула Карлемана для функций от матриц…...……..115 8.2. Формулы Карлемана в классических областях….….…117 8.3. Формула Карлемана в матричном шаре.……….……...123 8.4. Граничная теорема Морера для матричного шара.…...128 Примечания к главе 3…………………………………………………134 ГЛАВА 4. МНОГОМЕРНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ МОРЕРА В НЕОГРАНИЧЕННЫХ МАТРИЧНЫХ ОБЛАСТЯХ…………………135 § 9. Граничная теорема Морера для матричной верхней полуплоскости…………………..……………………………………135 §10. Теорема Морера в неограниченной реализации матричного шара……………………….…….………………...............144 10.1. О неограниченной реализации матричного шара…….144 10.2. Об интегральных представлениях в области Зигеля D...………………………………………………………150 10.3. Граничная теорема Морера для области Зигеля D…...154 Примечания к главе 4…………………………………………………164 ГЛАВА 5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ ГОЛОМОРФНОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ…………………………………165 § 11. Критерии существования голоморфного продолжения непрерывной функции, заданной на части границы области в …….....165 § 12. О возможности голоморфного продолжения в матричную область функций, заданных на куске ее границы Шилова …….….172 § 13. О возможности голоморфного продолжения в шар Ли функций, заданных на части сферы Ли……………….………………………...181 § 14. Об условиях голоморфной продолжимости в трубчатую область функций, заданных на остове трубчатой области …….…..192 § 15. Интерполяционные последовательности в классических областях……….……………………………………………………….198 Примечания к главе 5…………………….……….…………………..215 5

Стр.5

ГЛАВА 6. ТЕОРИЯ ЛОКАЛЬНОГО ВЫЧЕТА ДЛЯ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ ОТ МАТРИЦ…………………….….. 216 § 16. Интегральные представления локального вычета для голоморфных функций от матриц…………………………………...217 § 17. Свойства локального вычета…….……………………………223 § 18. Представление локального вычета через след и распространение формулы Бишопа на функции от матриц………..227 § 19. Формула Вейля и принцип Руше  …….….........…..233 § 20. Обобщенная интегральная реализация локального вычета ....238 20.1. Общий рецепт интегральной реализации локального вычета Гротендика……………....………...…………….............240 20.2. Примеры и преобразование локального вычета Гротендика при композициях отображений…..……….………242 Примечания к главе 6……………….………………………...………246 ГЛАВА 7. РАСШИРЕННЫЕ МАТРИЧНЫЕ ТРУБА И КРУГ.…..…247 § 21. Труба будущего……….………………………………..……….247 21.1. Определения………….…………..………..…….………247 21.2. Касательное пространство. Форма Леви…………...….248 21.3. Групповая структура. Автоморфизмы ….………...…...250 § 22. Труба будущего как классическая область………..…………..251 22.1. Реализация трубы будущего в виде матричного единичного круга………………………………………………..251 22.2. Геометрия матричного единичного круга….…..……...252 22.3. Реализация трубы будущего в виде шара Ли …………255 § 23. Расширенный матричный круг. Определения и гипотезы.… 258 § 24. Критерий голоморфной выпуклости для областей в , инвариантных относительно действия компактных групп Ли….....260 24.1. Факторы относительно действия групп………...……..260 24.2. Теорема Гильберта…….………………………………...263 6

Стр.6

24.3. Орбитальная выпуклость……..………………………....264 24.4. Эквивариантная теорема продолжения……..................264 24.5. Критерий голоморфной выпуклости……..………….…265 § 25. Доказательство гипотезы о расширенном матричном круге...266 25.1. Насыщенные орбитально псевдовыпуклые области …267 25.2. Орбитально выпуклые области………………..………..268 25.3. Расширенный матричный круг является орбитально выпуклым……………………………………………………...…269 25.4. Расширенный матричный круг является насыщенным…………………………………………………..…269 25.5. Основной результат……….……….………....................270 § 26. Гипотеза о расширенной матричной трубе……..............…….270 26.1. Частные случаи………………...…………………...........271 26.2. Матричная формулировка гипотезы о расширенной трубе будущего…………………………………………………………272 26.3. Схема доказательства гипотезы о расширенной матричной полуплоскости………………………………………274 Примечания к главе 7……………………………………..…………..277 Список литературы………………………….………………………..278 7

Стр.7

ПРЕДИСЛОВИЕ Данная монография посвящена комплексному анализу в матричных областях пространства . В ней изложены результаты, полученные в течение последних 30 лет в Красноярском государственном университете (ныне Сибирский федеральный университет), Национальном университете Узбекистана (кроме главы 7). В монографии рассмотрены различные матричные области – матричный круг, матричный поликруг, матричная верхняя полуплоскость, классические области Картана, области Зигеля второго рода, матричные области Рейнхарта. В такого вида областях получены многомерные граничные теоремы Морера и теоремы о функциях с одномерным свойством голоморфного продолжения. Построены формулы Карлемана, восстанавливающие значения голоморфной функции в области по ее значениям на части границы. Доказаны критерии существования голоморфного продолжения функций, непрерывных на части остова матричных областей различного вида – классических областей первого типа, шара Ли, трубчатых областей. Построена теория локального вычета для голоморфных функций от матриц. Рассмотрены известные гипотезы о расширенном матричном круге и о расширенной трубе будущего. Нумерация параграфов сквозная. Нумерация теорем, лемм, предложений и формул – двойная и состоит из номера параграфа и номера теоремы, леммы, предложения или формулы. Конец доказательства отмечается знаком □. 8

Стр.8