В.Ф. Чаплыгин
Математический анализ
в вопросах и задачах
Учебное пособие
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов всех специальностей
физического факультета
Ярославль 2008
Математический анализ в вопросах и задачах
УДК 517
ББК В16я73–4
Ч 19
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. <...> К.Д. Ушинского;
профессор А.В. Ястребов
Ч 19
Чаплыгин, В.Ф. Математический анализ в вопросах и задачах : учеб. пособие / В.Ф. Чаплыгин; Яросл. гос. ун-т. <...> Метод математической индукции
Рациональным числом называется отношение целого числа m к натуm
должна быть несократимой (иначе
ральному числу n, при этом дробь
n
одно и то же число может иметь бесконечно много представлений, напри2 4 6 8
2k
мер: = = =
= ... =
, где k – произвольное целое число). <...> Таким образом, построив любую непериодическую бесконечную дробь, мы получаем иррациональное
число. <...> Число K в этом случае называется верхней гранью множества A. <...> Число l
называется нижней гранью множества B. <...> Точной верхней гранью числового множества A называется число λ ,
обладающее двумя свойствами: 1)∀a ∈ A, a ≤ λ ; 2)∀λ ′ < λ , ∃a′ ∈ A , такое,
что a′ > λ ′ , символически это записывается так: λ = sup A . <...> В.Ф. Чаплыгин
непустого, ограниченного сверху множества, существует точная верхняя
грань, а для ограниченного снизу – нижняя. <...> b1 '
Метод математической индукции
Для того, чтобы доказать, что некоторое утверждение верно для любого натурального числа n, достаточно доказать: 1) что оно верно для n = 1
и 2) из того, что оно верно для некоторого натурального числа n, следует,
что оно верно для следующего натурального числа n + 1. <...> 15) Докажите, что если α – иррациональное число, то k α для любого
натурального k также иррационально. <...> Числовая последовательность
Предел числовой последовательности
Числовая последовательность x1, x2, … , xn , … (краткая запись{xn})
называется возрастающей (неубывающей), если для любого n выполняется
неравенство xn+1>xn (xn+1≥ xn ) и убывающей <...>
Математический_анализ_в_вопросах_и_задачах__Учебное_пособие.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
В.Ф. Чаплыгин
Математический анализ
в вопросах и задачах
Учебное пособие
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов всех специальностей
физического факультета
Ярославль 2008
Стр.1
Математический анализ в вопросах и задачах
УДК 517
ББК В16я73–4
Ч 19
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2008 года
Рецензенты:
кафедра математического анализа ЯГПУ им. К.Д. Ушинского;
профессор А.В. Ястребов
Чаплыгин, В.Ф. Математический анализ в вопросах и заЧ
19
дачах : учеб. пособие / В.Ф. Чаплыгин; Яросл. гос. ун-т. – Ярославль
: ЯрГУ, 2008. –112 с.
ISBN 978-5-8397-0601-9
Учебное пособие охватывает все разделы программы по математическому
анализу, содержит задачи с решениями, иллюстрирующими
теоретический материал, и задачи для самостоятельного
решения. Даны контрольные вопросы, позволяющие студенту понять
глубину и правильность усвоения теории.
Предназначено для студентов-физиков всех специальностей
(дисциплина "Математический анализ", блок ЕН).
Рис. 32. Библиогр.: 2 назв.
УДК 51:37
ББК В1г.я73
ISBN 978-5-8397-0601-9
2
© Ярославский
государственный
университет, 2008
Стр.2
В.Ф. Чаплыгин
Содержание
Вещественные числа. Метод математической индукции ......................... 3
Метод математической индукции ...................................................... 5
Задачи и контрольные вопросы ............................................................ 6
Числовая последовательность ........................................................................ 7
Предел числовой последовательности ................................................. 7
Свойства сходящихся последовательностей .................................... 11
Задачи и контрольные вопросы .......................................................... 13
Предел функции в точке ................................................................................ 14
Задачи и контрольные вопросы .......................................................... 18
Непрерывные функции и их свойства ........................................................ 19
Задачи и контрольные вопросы .......................................................... 25
Производная, дифференциал, свойства
дифференцируемых функций ............................................................... 26
Задачи и контрольные вопросы .......................................................... 34
Неопределенный интеграл ............................................................................ 35
Интегрирование рациональных функций ........................................... 40
Интегрирование некоторых иррациональных функций ................... 43
Интегрирование тригонометрических функций ............................. 44
Задачи и контрольные вопросы .......................................................... 47
Определенный интеграл ................................................................................ 48
Понятие о несобственных интегралах .............................................. 51
Геометрические приложения определенного интеграла ................. 53
Физические приложения определенного интеграла ......................... 58
Задачи и контрольные вопросы .......................................................... 61
Числовые ряды ................................................................................................ 63
109
Стр.109
Математический анализ в вопросах и задачах
Функциональные ряды .................................................................................. 68
Степенные ряды ................................................................................... 69
Задачи и контрольные вопросы .......................................................... 72
Тригонометрические ряды ............................................................................ 73
Задачи и контрольные вопросы .......................................................... 78
Функции нескольких переменных .............................................................. 78
Экстремум функции двух переменных ............................................... 81
Задачи и контрольные вопросы .......................................................... 85
Кратные и криволинейные интегралы ...................................................... 86
Двойные интегралы .............................................................................. 86
Криволинейные интегралы .................................................................. 91
Формула Грина ...................................................................................... 93
Поверхностные интегралы ................................................................. 95
Тройные интегралы .............................................................................. 97
Физические приложения кратных, поверхностных и криволинейных
интегралов ................................................................................................... 102
Задачи .................................................................................................. 108
Литература ...................................................................................................... 108
110
Стр.110
В.Ф. Чаплыгин
В.Ф. Чаплыгин
Математический анализ
в вопросах и задачах
(
D
∂
∂ − ∂
∂
Q
x
y dxdy P x y dx Q x y dy
P
)
= ∂D
( , )
+
( , )
113
Стр.113