Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
А.И. Григорьев
С.О. Ширяева
А.Н. Жаров
Нелинейные осцилляции
заряженной капли
Ярославль 2006
1
Стр.1
УДК 532.59:534.1
ББК В 253.322я73
Г 83
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве научного издания. План 2006 года
Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук, А.С. Голованов;
кафедра прикладной математики и вычислительной техники
Ярославского государственного технического университета
Григорьев, А.И. Нелинейные осцилляции заряженной капли :
Г 83
моногр. / А.И. Григорьев, С.О. Ширяева, А.Н. Жаров; Яросл. гос.
ун-т. им. П.Г. Демидова. – Ярославль: ЯрГУ, 2006. – 280 с.
ISBN 5-8397-0464-4
В монографии с единой точки зрения в рамках аналитического
асимптотического моделирования рассмотрены нелинейные
осцилляции заряженной капли идеальной несжимаемой жидкости
как в вакууме, так и при наличии внешней несжимаемой
диэлектрической среды ламинарно обтекающего каплю потока и
осложняющего влияния внешних силовых полей и вязкости
жидкости.
Книга издана при финансовой поддержке грантов Президента
РФ № МК-2946-2004-1 и МК-2209-2006-1, а также грантов РФФИ
№ 03-01-00760 и №06-01-00066-а.
УДК 532.59:534.1
ББК В 253.322я73
Ярославский государственный
университет, 2006
А.И. Григорьев, С.О. Ширяева,
А.Н. Жаров, 2006
ISBN 5-8397-0464-4
2
Стр.2
1. Введение
Совсем недавно, два с половиной десятилетия назад (первая
теоретическая статья [1] появилась 1983 году), начались регулярные
исследования нелинейных осцилляций капель [1 – 33]. И хотя
самая первая публикация [1] была посвящена исследованию нелинейных
осцилляций незаряженной капли, во всех последующих
работах [2 – 33] рассматривалась именно заряженная капля. Следует
отметить, что экспериментальные и теоретические исследования
устойчивости и динамики колебаний заряженных капель
жидкости в линейном по амплитуде осцилляций приближении
проводятся уже почти полтора столетия. Интерес к заряженной
капле объясняется тем, что она является ключевым объектом в самых
разнообразных академических, геофизических, технических и
технологических явлениях и процессах. Например, с ней приходится
встречаться при электростатическом распыливании жидких
топлив, инсектицидов, лакокрасочных материалов, в устройствах
электрокаплеструйной печати, при исследовании проблем грозового
электричества, в капельной модели ядра атома, в жидкометаллических
источниках ионов, в ионных коллоидных реактивных
двигателях, при жидкометаллической литографии и эпитаксии,
при получении порошков тугоплавких металлов и т.п. (см., например,
обзоры [34 – 46] и указанную в них литературу).
Начало теоретического изучения капиллярных колебаний и
устойчивости заряженной капли в линейном приближении по амплитуде
осцилляций связано с именем Рэлея [47 – 48] и относится
к концу девятнадцатого века. Он представил каплю как колебательную
систему с бесконечным набором собственных частот колебаний.
В качестве отдельных мод осесимметричных колебаний
поверхности рассматривались колебания, описываемые соответствующими
полиномами Лежандра, при этом номер моды соответствовал
числу выпуклостей (или впадин) на поверхности капли.
Рэлей рассчитал частоты капиллярных колебаний и нашел критические
условия потери устойчивости сильно заряженной капли.
Наименее устойчивой оказалась основная (вторая) мода капиллярных
колебаний, критические условия потери устойчивости которой
и определяют устойчивость всей капли. Величину заряда на
капле фиксированного радиуса с заданным коэффициентом по3
Стр.3
верхностного натяжения, при которой теряет устойчивость основная
мода, принято называть Рэлеевским пределом устойчивости
заряженной капли. При превышении зарядом Рэлеевского предела
капля неустойчива и у нее не существует равновесных сферических
форм. Со времени появления работы Рэлея проделана масса
исследований линейной устойчивости капель в различных усложняющих
вариантах, количество же публикаций, посвященных линейным
исследованиям, измеряется сотнями (см., например, обзоры
[34 – 46] и указанную в них литературу).
В нижеследующем изложении сосредоточимся на исследованиях
нелинейных осцилляций заряженных капель [2 – 32, 49 –
51]. Можно выделить три основных направления проведенных
исследований: 1) нелинейный анализ эволюции амплитуды капиллярных
осцилляций поверхности капли в рамках методов теории
возмущений; 2) расчет равновесных форм заряженных капель
вблизи Рэлеевского предела и анализ характера бифуркаций
решений, имеющих место в окрестности критического значения
заряда; 3) исследование нелинейного взаимодействия между отдельными
модами колебаний заряженной капли.
Впервые классические методы теории возмущений (метод
Линштедта-Пуанкаре) к исследованию осесимметричных капиллярных
колебаний конечной амплитуды, совершаемых поверхностью
незаряженной капли несжимаемой невязкой жидкости, были
применены в [1]. Это позволило получить квадратичные по
амплитуде начальной деформации поправки к форме поверхности
капли, потенциалам скоростей и в третьем порядке малости к
частотам колебаний. Расчеты проводились для трех типов начальных
условий, определявшихся заданием начальной деформации
капли в виде виртуального возмущения n-й моды осцилляций
для n = 2, 3, 4. При проведении экспериментальных исследований
сдвига частоты при нелинейных колебаниях капли в условиях отсутствия
силы тяжести [32] получено хорошее согласие данных
измерений с теоретическими предсказаниями работы [1].
В работе [29] на основе более подходящего для исследования
многочастотных колебаний метода многих масштабов были исследованы
осцилляции конечной амплитуды заряженной капли
идеальной несжимаемой жидкости, вызванные начальным возбуждением
первых трех мод (n = 2, 3, 4), в ситуации когда заряд
4
Стр.4
капли не достигает Рэлеевского предела. Однако выяснилось, что
при увеличении заряда до некоторого порогового зависящего от
амплитуды осцилляций значения *Q , меньшего критической по
Рэлею величины, найденные в [29] поправки к амплитудам гармонических
колебаний становятся несправедливыми, т.к. неограниченно
нарастают при Q ≥ *Q . Для устранения таких расходимостей
в [32] на основе анализа асимптотического поведения решений,
полученных в [29], малый параметр масштабирования
вводился таким образом, чтобы он характеризовал соотношение
между амплитудой деформации и отклонением величины заряда
на капле Q от критического ∗Q . Это позволило авторам [32] проанализировать
нелинейную динамику осесимметричных осцилляций
поверхности невязкой заряженной капли вблизи Рэлеевского
предела и получить с точностью до второго порядка малости
по величине решения, описывающие эволюцию формы
капли, поля скоростей и электрического поля при начальном возбуждении
основной моды колебаний поверхности.
Нелинейный анализ неосесимметричных колебаний капли,
несущей заряд, мало отличающийся от Рэлеевского предела, математическими
методами, использованными в [32], предпринят и в
[24], где получены динамические уравнения для амплитуд неосесимметричных
мод, описываемых сферическими функциями второго
порядка. Решения выведенных в [24] уравнений в зависимости
от величины начальной деформации капли и близости заряда к
критическому значению проявляют тенденцию к стохастичности.
Нелинейная структура и устойчивость осесимметричных статических
форм поверхности идеально проводящей заряженной
невязкой капли с зарядом, близким к Рэлеевскому пределу, при
начальном возбуждении основной (n=2) моды рассматривались в
[32]. В частности было показано, что Рэлеевский предел соответствует
точке транскритической бифуркации семейства статических
сферических форм капли на семейства осесимметричных
вытянутых и сплюснутых сфероидальных форм (этот результат
был подтвержден численными расчетами [51]). Вытянутые формы
существуют при значениях заряда, меньших критического, и
неустойчивы по отношению к малоамплитудным возмущениям
поверхности. Сплюснутые статические формы согласно проведенному
анализу существуют при зарядах, больших Рэлеевского
5
Стр.5