Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Центр довузовского и дополнительного образования
Математика
Методические указания и контрольные работы
для слушателей подготовительных курсов
Ярославль 2005
1
Стр.1
УДК 51(075)
ББК В1я729
М 34
Составитель И.Н. Рябикова
Математика: Методические указания и контрольные работы для
М 34
слушателей подготовительных курсов / Сост. И.Н. Рябикова ; Яросл.
гос. ун-т. – Ярославль: ЯрГУ, 2005. – 24 с.
Предлагаемые обучающимся на заочных подготовительных курсах
ЯрГУ контрольные работы по математике содержат в основном задачи
вступительных экзаменов в Ярославском университете. По возможности
задачи следуют друг за другом в порядке возрастания их трудности,
но в первую очередь выдерживается общепринятая в школьной справочной
литературе последовательность рассмотрения материала.
УДК 51(075)
ББК В1я729
© Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, 2005
© И.Н. Рябикова, 2005
Учебное издание
Математика
Методические указания и контрольные работы
для слушателей подготовительных курсов
Составитель Рябикова Ирина Николаевна
Редактор, корректор А.А. Аладьева
Компьютерная верстка И.Н. Ивановой
Подписано в печать 10.11.2005. Формат 60х84/16. Бумага тип.
Усл. печ. л. 1,39. Уч.-изд. л. 1,1. Тираж 500 экз. Заказ
.
Оригинал-макет подготовлен в редакционно-издательском отделе ЯрГУ.
Ярославский государственный университет
150000 Ярославль, ул. Советская, 14
Отпечатано ООО «Ремдер» ЛР ИД № 06151 от 26.10.2001.
г. Ярославль, пр. Октября, 94, оф. 37 тел. (0852) 73-35-03.
2
Стр.2
Предисловие
Предлагаемые обучающимся на заочных подготовительных курсах
ЯрГУ контрольные работы по математике содержат в основном
задачи вступительных экзаменов в Ярославском университете. По
возможности задачи следуют друг за другом в порядке возрастания
их трудности, но в первую очередь выдерживается общепринятая в
школьной справочной литературе последовательность рассмотрения
материала. Поэтому, кроме своего обычного учебника, рекомендуется
использовать любой справочник по математике для школьников, чтобы
повторить известный материал в форме компактно сформулированных
сведений.
Часть задач (например, № 10 и № 13 в Контрольной работе № 1)
носит вспомогательный, направляющий характер. Не откладывайте
выполнение заданий. Даже если задача “не получается”, лучше изложить
свои соображения и сомнения по ее поводу, чтобы проверяющий
мог точнее корректировать ваши действия. Не нужно бояться
ошибиться на этапе подготовки, - меньше ошибок будет на экзамене.
Письменный экзамен по математике обычно содержит 5 – 7 заданий
различной сложности, большая часть которых требует привлечения
знаний сразу нескольких разделов программы. Поэтому сдающим
письменный экзамен следует решать как можно больше самых разнообразных
задач. В качестве Контрольных работ № 9 и № 10 приведены
примеры вариантов письменного экзамена на различных факультетах
ЯрГУ.
Контрольная работа № 1
Начните с повторения тождеств сокращенного умножения, так
как без их применения не обходится решение почти ни одной алгебраической
задачи.
Наиболее рациональный подход к решению первых двух задач
состоит, кроме того, не только в использовании теорем о делимости
3
Стр.3
суммы и произведения натуральных чисел, но и в применении очевидного
свойства последовательности натуральных чисел:
1;2;3;4;5;6;7;8;9;10; ... n; ... ,
в которой каждое второе число делится на 2, каждое третье – на 3,
каждое четвертое – на 4 и т.д. Применяйте знак делимости без остатка
“ “.
1. Доказать, что сумма кубов трех последовательных натуральных
чисел делится на 9 без остатка.
2. Доказать, что если сумма четырех идущих подряд натуральных
чисел делится на 5, то ни одно из них на 5 не делится.
3. Упростите выражение, грамотно применяя определение и
свойства корня четной степени:
+− +
22
−1
.
хх хх х−− −
хх х11 1
−+ 11 22:+− −1
х +
11 х
х − −
х +
1
х
2
k многочлен х2 +2(k-9)x+k2+3k+4 является полным квадратом?
5. Доказать справедливость равенства а3 +в3 +с3 =3авс для случая
x2+y2+z2=A.
Повторите свойства многочленов с одной переменной и целыми
а+в+с=0.
6. Выразите значение величины x4+y4+z4, если x+y+z=0 и
коэффициентами:
а) Два таких многочлена равны тогда и только тогда, когда равны
их коэффициенты при одинаковых степенях переменной.
б) Число a является корнем многочлена тогда и только тогда, когда
многочлен делится без остатка на (х-a).
в) Количество возможных корней многочлена не превышает его
степени.
г) Любой многочлен 3-й и выше степени (с целыми коэффициентами)
разложим на множители не выше 2-й степени (с действительными
коэффициентами).
д) Если приведенный многочлен имеет целые корни, то они являются
делителями свободного члена. Если неприведенный многочлен
имеет рациональные корни m/n, то m - это делитель свободного
члена, n - делитель старшего коэффициента.
4
4. При каком значении параметра (т.е.буквенного коэффициента)
х
Стр.4
7. Найдите такие действительные числа а и b, чтобы равенство
2
х хх х=++− − +21 2
3х
а
b
выполнялось тождественно (т. е. при всех допустимых значениях х).
8. При каком значении р многочлен х4 + 3х3 + 4х2 + рх + 11 без
х2=2 являются корнями уравнения х4–2х3+aх2+14х+b = 0. При найденных
значениях a и b определить остальные корни этого уравнения.
остатка
делится на двучлен х+1?
9. Найти значения параметров a и b, если известно, что х1= –1 и
10. Разложить на множители:
а) у5+у4+у3+у2+у+1;
б) х4+х3-7х2-х+6.
а3+ma+n=0; в3+mв+n=0; c3+mc+n=0. Найти а+в+с.
12. Решите уравнения с целыми коэффициентами:
а)х4+4х3+7х2+6х+2=0;
в)2х3+7х2-28х+12=0;
б)х3-5х2+8х-4=0;
г)2х4+7х3+6х2+7х-6=0.
13. Докажите и запомните:
а) В треугольнике медиана равна половине той стороны, которую
она делит пополам, тогда и только тогда, когда треугольник - прямоугольный.
б)
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную
его сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
14.
На стороне ВС параллелограмма АВСD выбрана такая точка
Е, что ВЕ/ЕС = 2. Известно, что четырехугольник АЕСD таков, что в
него можно вписать окружность и около него можно описать окружность.
Найти угол ВАD.
15. На продолжениях сторон АВ, ВС, СD и DА четырехугольника
АВСD построены точки: М, N, P, R - такие, что АВ=ВM, ВС=СN,
СD=DP, DА=АR. Найти отношение площадей четырехугольников
АВСD и МNРR.
5
11. Три различных числа а, в, с удовлетворяют соотношениям
Стр.5