Министерство образования и науки Российской Федерации
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Проблемы повышения эффективности
образовательного процесса
в высших учебных заведениях
Сборник научно-методических статей
Ярославль 2004
Стр.1
ББК Ч 481я43
П 78
УДК 378.02:372.8
Редакционная коллегия – Л.П. Бестужева (отв. редактор),
Л.Б. Медведева (зам. отв. редактора),
Е.В. Никулина (отв. секретарь)
Рецензенты:
кафедра теории и методики обучения математике Ярославского
государственного педагогического университета им. К.Д. Ушинского;
канд. пед. наук Н.Л. Дашниц.
Проблемы повышения эффективности образовательного процесса
в высших учебных заведениях: Сб. науч.-метод. статей / Под
ред. Л.П. Бестужевой. Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 2004. 155 с.
ISBN 5-8397-0351-6
Сборник содержит статьи, в которых обсуждаются программы, методическое
и организационное обеспечение дисциплин математического
цикла на математических и нематематических факультетах высших
учебных заведений; вопросы подготовки учителей математики в университетах
России, а также проблемы работы с учащимися средней
школы и учета их учебных достижений.
Сборник предназначен для преподавателей, аспирантов и студентов;
будет полезен и учителям средней школы.
ISBN 5-8397-0351-6
© Ярославский
государственный
университет им. П.Г. Демидова,
2004 г.
2
Стр.2
Проблемное пространство
задач с параметрами
Л.П. Бестужева
Ярославский госуниверситет им. П.Г. Демидова
Задачи с параметрами заняли прочное место в школьном курсе
математики. Еще лет 15- 20 назад их можно было встретить только
в экзаменационных материалах ведущих вузов страны. В настоящее
время задачи с параметрами включены в содержание ЕГЭ,
причем не только в часть С, наиболее трудных задач экзамена, но и
в часть В. Нельзя сказать, что школьники совсем не были знакомы
с такими задачами раньше. Так, решение линейного уравнения (неравенства)
ax
+ + =cbx
2
0 (ax + + >cbx
уравнений и неравенств с параметрами ba, или a b c,,
0) есть не что иное, как решение
соответстax
b= (ax b> ) или квадратного уравнения (неравенства)
2
венно, а эти задачи всегда входили в школьную программу, в ее
теоретическую часть, которая сопровождалась, как правило, решением
соответствующих задач с числовыми коэффициентами. Те
школьники, чей интерес к математике не ограничивался решением
задач из школьных учебников, были знакомы с задачами с параметрами
по таким, например, книгам: П.С. Моденов "Экзаменационные
задачи по математике с анализом их решения"; В.Б. Лидский
и др. "Задачи по элементарной математике"; В.Г. Болтянский и др.
"Лекции и задачи по элементарной математике"; и, конечно, нельзя
не назвать "Сборник задач по математике" под ред. М.И. Сканави,
по которому училось решать задачи не одно поколение учащихся.
В этих книгах задачи с параметрами не выделены и встречаются
наряду с другими задачами элементарной математики. О возросшей
за последние лет 10 популярности задач с параметрами говорит
тот факт, что появились книги, которые посвящены только
этим задачам, о чем свидетельствуют их названия. Достаточно назвать
книги: В.В. Амелькин, В.Л. Рабцевич "Задачи с параметрами";
П.И. Горнштейн и др. "Задачи с параметрами". В этих книгах
задачи систематизированы, причем в первой книге – в основном,
по видам функций, входящих в уравнения или неравенства, а во
второй – по методам решения. Обе книги содержат примеры решения
задач и достаточно большие списки задач для самостоятельного
решения. К книгам, в которых разработана теория задач с пара3
Стр.3
метрами, относится работа В.И. Горбачева "Элементы теории и
общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами".
Следует упомянуть и публикации в журнале "Математика в школе",
в которых обсуждаются различные аспекты решения и использования
в учебном процессе задач с параметрами.
Включение уравнений и неравенств с параметрами в содержание
школьного обучения обусловлено многими причинами, и в
первую очередь, связано с задачей формирования у школьников
исследовательских умений и навыков. Немаловажными в этой связи
являются и высокие требования к математической подготовке
школьников – абитуриентов. Вузы постоянно снабжают школу целой
системой ориентиров в виде контрольных материалов (программ,
тестов, задач и т.д.), оказывающих сильнейшее воздействие
на весь учебный процесс в школе. В последние годы такие ориентиры
задают и материалы ЕГЭ. Обратимся к мнению тех, чей авторитет
в вопросах математического образования не вызывает сомнений.
А.Г. Мордкович рассматривает уравнения и неравенства с
параметрами как один из труднейших разделов школьного курса
математики: "Здесь кроме использования определенных алгоритмов
решения уравнения или неравенства приходится думать об
удачной классификации, следить за тем, чтобы не пропустить много
тонкостей. Уравнения и неравенства с параметрами – это тема,
на которой проверяется не натасканность ученика, а подлинное понимание
им материала". А.Г. Мордкович считает, что "обучать
этому (решению задач с параметрами) массового школьника вряд
ли целесообразно, но сильных учащихся знакомить с этим, безусловно,
необходимо, ведь задачи с параметрами дают прекрасный
материал для настоящей учебно-исследовательской работы" [1].
Г.В. Дорофеев в предисловии к книге [2] еще более категоричен:
"…так называемая элементарная математика (а может быть, просто
школьная математика) даже в ограниченном контексте – задачи с
параметрами – представляет собой широкое поле для полноценной
математической деятельности – во всяком случае, более широкое,
чем многочисленные и зачастую вполне алгоритмические задачи
на вычисление пределов, производных и интегралов, которыми наполнены
практические занятия студентов по высшей математике".
Анализ содержания материалов Государственного централизованного
тестирования, проводимого на территории России в послед4
Стр.4
ние восемь лет (1997 – 2004 гг.), и материалов ЕГЭ (2001 - 2004 гг.)
показывает, что задачи с параметрами являются обязательными для
усвоения именно "массовым школьником", а не только сильными
учащимися, как считает А.Г. Мордкович.
Отличительной чертой задач с параметрами является их большое
разнообразие. В то же время в целях обучения их решению
можно выделять некоторые классы задач. Для одних классов можно
сформулировать алгоритм в виде последовательности предписаний,
выполнение которых приводит к решению задачи. Для других классов
описание подобного алгоритма затруднительно. Тем не менее,
можно выделять группы (совокупности задач), в основе решения которых
лежит одна "идея", и выработать стратегию их решения. Возникновение
идеи решения задачи тесно связано с построением и
проверкой гипотез. Способности к этому виду интеллектуальной
деятельности формируются в процессе решения задач, а "уровень
развития этих способностей, как и качество приобретенных знаний,
зависят прежде всего от содержания этих задач, которое определяет
пространство возможных гипотез или проблемное пространство" [3].
Проблемное пространство задач с параметрами задает широкий
спектр поисковой деятельности на основе актуализации знаний
и умений, относящихся, как говорят, к различным темам. Часто
приходится наблюдать неумение применить знания и умения,
сформированные при изучении одной темы, при решении задач,
относящихся к другой теме. Наборы фактов, утверждений, методов
существуют в сознании учащихся изолированно, не пересекаясь и
не взаимодействуя между собой. Именно этим, вероятно, объясняется
тот факт, что многие задачи, не являющиеся по своей сути
сложными, трудны для учащихся. Задачи с параметрами выступают
средством целенаправленной и, следовательно, управляемой
интеграции знаний и умений. При их решении происходит процесс
образования целостного знания, возникает понимание взаимосвязей
между различными разделами школьной математики и единства
применяемых методов. Тем самым реализуются обучающие
функции задач, направленные на формирование системы математических
знаний, умений и навыков как предусмотренных программой,
так и расширяющих и углубляющих ее содержание.
5
Стр.5