Учебное пособие предназначено для студентов старших курсов факультета летательных аппаратов при изучении дисциплин «Уравнения математической физики», «Теория упругости» и окажется полезным студентам других факультетов. <...> , 20
УДК 517.5(075.8)
© Присекин В.Л., Расторгуев Г.И., 2009
© Новосибирский государственный
технический университет, 2009
ISBN 978-5-7782-1266-4
2
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теория функций комплексного переменного представляет раздел
курса «Специальные главы высшей математики», читаемого студентам
специальностей 071100 «Динамика и прочность машин», 071300 «Гидроаэродинамика» дневного отделения факультета летательных аппаратов. <...> Теория степенных рядов дана в классическом варианте без привлечения интеграла Коши. <...> Авторы полагают, что пособие окажется полезным студентам не
только факультета летательных аппаратов, но и других факультетов, в
том числе аспирантам и всем начинающим изучать эту теорию, так как
методы теории функций комплексного переменного применяются в
различных областях науки и техники. <...> (1.1)
Формальное решение приводит к результату:
z1
h
h2
2
, z2
h
h2
2
.
Полагая, что h и ω являются вещественными числами, приходим к
2
0 , то уравнение (1.1) имеет два действизаключению: если h2
2
2
0 принято говорить, что исходное
тельных корня. <...> С этой целью рассмотрим упорядоченное множество, каждый элемент которого состоит из двух вещественных чисел a, b. <...> (1.3)
В примерах (1.2) на умножение комплексных чисел вида [1, 0] и
[0, 1] получен результат, который позволяет сделать заключение о том,
что [1, 0] является тождественным аналогом вещественного числа 1. <...> Теперь появляется возможность записывать комплексные числа z [ x, y ] [ x, 0] [0, y ] в следующем виде:
z
x i y. <...> Тригонометрическая и показательная формы
комплексных чисел
Можно установить взаимно однозначное соответствие между
любым комплексным числом c a i b и точками плоскости (х, у), где
х и у – оси декартовой системы координат (рис. <...> Отметим также, что для любой точки
плоскости с координатами (а, b) можно <...>
Основы_теории_аналитических_функций.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
В.Л. ПРИСЕКИН, Г.И. РАСТОРГУЕВ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
АНАЛИТИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ
Утверждено
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
НОВОСИБИРСК
2009
Стр.1
УДК 517.5(075.8)
П 771
Рецензент д-р техн. наук, проф. И.П. Олегин
Работа подготовлена на кафедре «Прочность летательных аппаратов»
для студентов II, III курсов дневного отделения факультета
П 771 Основы теории аналитических функций : учеб. пособие / В.Л. Присекин,
Г.И. Расторгуев. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2009. – 148 с.
летательных аппаратов (направление 553300 – прикладная механика)
Присекин В.Л.
разующих базу для подготовки специалистов в области прикладной механики. Основу
курса составляет теория аналитических функций с некоторыми приложениями.
Теория излагается как естественное обобщение теорем анализа функций
вещественной переменной. Базой для изучения функций комплексной переменной
являются: основы математического анализа, дифференциальное исчисление, функции
нескольких независимых переменных, функциональные ряды.
Учебное пособие предназначено для студентов старших курсов факультета летательных
аппаратов при изучении дисциплин «Уравнения математической физики»,
«Теория упругости» и окажется полезным студентам других факультетов.
Виктор Леонтьевич Присекин,
Геннадий Иванович Расторгуев
ОСНОВЫ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Учебное пособие
Выпускающий редактор И.П. Брованова
Корректор И.Е. Семенова
Редактор И.Л. Кескевич
Дизайн обложки А.В. Ладыжская
Компьютерная верстка Н.М. Шуваева
Подписано в печать 27.11.2009. Формат 60 Ч 84 1/16. Бумага офсетная
Тираж 100 экз. Уч.-изд. л. 8,6. Печ. л. 9,25. Изд. № 218. Заказ №
Цена договорная
Новосибирского государственного технического университета
630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20
УДК 517.5(075.8)
ISBN 978-5-7782-1266-4
© Присекин В.Л., Расторгуев Г.И., 2009
© Новосибирский государственный
технический университет, 2009
2
Отпечатано в типографии
ISBN 978-5-7782-1266-4
Курс является классическим представителем математических дисциплин, об
Стр.2
Здесь Г является произвольной величиной, для ее определения необходимо
располагать дополнительным условием.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ........................................................................................................... 3
1. Комплексные числа .......................................................................................... 4
1.1. Определение ................................................................................................... 4
1.2. Основные законы алгебры ............................................................................ 7
1.3. Тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел .......... 8
1.4. Операции над комплексными числами ..................................................... 10
1.5. Задачи для самостоятельного решения ..................................................... 21
2. Функции комплексной переменной ............................................................ 23
2.1.Основные понятия ........................................................................................ 23
2.2. Непрерывность ФКП ................................................................................... 28
2.3. Дифференцируемость ФКП ........................................................................ 31
2.4. Интегрирование ФКП ................................................................................. 37
2.5. Элементарные функции .............................................................................. 44
2.6. Задачи и упражнения для самостоятельного решения ............................. 54
3. Ряды ................................................................................................................... 57
3.1. Числовые ряды ............................................................................................. 57
3.2. Ряды Тейлора ............................................................................................... 59
3.3. Операции над рядами .................................................................................. 64
3.4. Ряды Лорана и особые точки ...................................................................... 69
4. Теория вычетов ............................................................................................... 79
4.1. Определение вычета .................................................................................... 80
4.2. Теорема Коши о вычетах ............................................................................ 81
4.3. Формула Коши ............................................................................................. 87
4.4. Производные аналитической функции ...................................................... 88
4.5. Элементы теории рядов .............................................................................. 90
4.6. Подсчет числа нулей и полюсов ................................................................ 91
4.7. Вычисление интегралов .............................................................................. 93
5. Операционное исчисление .......................................................................... 102
5.1. Преобразование Лапласа .......................................................................... 102
5.2. Свойства преобразования Лапласа .......................................................... 107
5.3. Примеры ..................................................................................................... 113
148
Стр.148
6. Конформное отображение ........................................................................... 121
6.1. Свойства аналитических функций ........................................................... 122
6.2. Примеры конформных отображений ....................................................... 124
6.3. Краевые задачи .......................................................................................... 137
149
Стр.149