Такие системы с характерным размером порядка микро- и нанометра
проявляют квантовые свойства, которые выглядят парадоксально с точки
зрения классической физики: общее сопротивление последовательно соединенных элементов не равно сумме сопротивлений; частица проходит через
барьер, превышающий ее энергию; воздействие на частицу системы в перепутанном состоянии мгновенно влияет на другие частицы, на каком бы расстоянии они ни находились; частица движется сразу по нескольким путям; в
двумерном электронном газе в магнитном поле существуют квазичастицы с
дробным электрическим зарядом e / 3 , e / 5 , 5e / 2 ,... <...> Только на основе
квантовой механики объясняется магнетизм вещества и наблюдается векторный потенциал электромагнитного поля. <...> Например, не коммутируют операторы проекций координаты и импульса на ось. <...> Волновая функция частицы во внешнем поле
находится решением уравнения Шрѐдингера – дифференциального уравнения с частными производными второго порядка, которое установил Эрвин
Шрѐдингер (1887–1961) в 1926 г. Теория описывает стационарные и нестационарные системы в виде частиц во внешних полях, атомов, молекул, кристаллов. <...> Рекомбинация электрически управляемого экситона (связанного состояния электрона и дырки) в квантовой точке дает одиночную линию
960 нм . <...> (1.15)
Вероятность найти частицу во всем пространстве равна единице, и выполняется условие нормировки
|
( x, t ) |2 dx 1 . <...> Проекция орбитального момента квантуется
m ,
pm rm
Lz <...> ЗАРЯД В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Магнитное поле изменяет фазу волновой функции заряда, длину волны де
Бройля и условие квантования. <...> В соотношении
h / p (1.13) кинетический
импульс p заменяется полным импульсом P. <...> Кинетический импульс p заряда q в электрическом
поле E изменяется согласно второму закону Ньютона dp / dt
вание дает
qE . <...> Используя B rot A
A,
где А – векторный потенциал, получаем rot (E A / t ) 0 . <...> Векторный потенциал не является измеримой величиной в
электродинамике, и его выбор не однозначен. <...> (1.20)
P(t ) p(t ) q <...>
Квантовая_механика_в_приложениях_к_физике_твердого_тела.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Е. А. КРАСНОПЕВЦЕВ
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
В ПРИЛОЖЕНИЯХ К ФИЗИКЕ
ТВЕРДОГО ТЕЛА
НОВОСИБИРСК
2010
Стр.1
УДК 530.145.6(075.8)
К 782
Рецензенты: д-р техн. наук, профессор А.А. Величко;
д-р физ.-мат. наук, доцент В.А. Гайслер;
д-р физ.-мат. наук, профессор В.Г. Дубровский
Работа подготовлена на кафедре
полупроводниковых приборов и микроэлектроники НГТУ
для студентов РЭФ
Краснопевцев Е. А.
К 782 Квантовая механика в приложениях к физике твердого тела : учебное
пособие / Е.А. Краснопевцев. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2010. –
355 с. (Серия «Учебники НГТУ»).
ISBN 978-5-7782-1464-4
Изложены физические и математические основы квантовой механики и их применение
в физике твердого тела, в полупроводниковых структурах. Приводятся примеры,
иллюстрирующие теоретические положения, и задачи для самостоятельной работы. Издание
предназначено для студентов инженерно-технических специальностей, приступающих
к изучению микро- и наноэлектроники.
УДК 530.145.6(075.8)
ISBN 978-5-7782-1464-4
Краснопевцев Е.А., 2010
Новосибирский государственный
технический университет, 2010
Стр.2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ...................................................................................................................................... 7
Глава 1. ПОЛУКЛАССИЧЕСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ............................................. 9
1.1. Волновые свойства света ..................................................................................................... 9
1.2. Корпускулярные свойства света ....................................................................................... 12
1.3. Волна де Бройля ................................................................................................................. 14
1.4. Квантование Бора–Зоммерфельда .................................................................................... 16
1.5. Заряд в магнитном поле ..................................................................................................... 17
Примеры 1.................................................................................................................................. 24
Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ ........................... 31
2.1. Волновая функция .............................................................................................................. 31
2.2. Операторы ........................................................................................................................... 32
2.3. Собственные функции и собственные значения оператора ........................................... 34
2.4. Эрмитовость оператора ..................................................................................................... 36
2.5. Условие ортонормированности. Среднее значение ........................................................ 39
2.6. Соотношение неопределенностей .................................................................................... 42
2.7. Унитарный оператор. Операторы трансляции и эволюции ........................................... 46
2.8. Уравнение Шрѐдингера ..................................................................................................... 49
2.9. Быстрота изменения величины ......................................................................................... 53
2.10. Ток вероятности ............................................................................................................... 55
2.11. Матрица плотности ........................................................................................................... 59
Примеры 2.................................................................................................................................. 63
Задачи 1 ...................................................................................................................................... 79
Глава 3. ОДНОМЕРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ......................................................... 83
3.1. Одномерные стационарные состояния ............................................................................. 83
3.2. Граничные условия для прямоугольных потенциалов ................................................... 88
3.3. Потенциальная яма ............................................................................................................ 91
Примеры 3.................................................................................................................................. 94
3.4. Линейный гармонический осциллятор .......................................................................... 112
3.5. Квазиклассическое квантование ВКБ ............................................................................ 120
3.6. Одномерное рассеяние .................................................................................................... 125
3.7. Туннельный эффект ......................................................................................................... 127
Примеры 4................................................................................................................................ 130
3.8. Электрон в периодической структуре ............................................................................ 145
3.9. Локализация Андерсона .................................................................................................. 158
3.10. Уровни Тамма ................................................................................................................. 161
Задачи 2 .................................................................................................................................... 163
Глава 4. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ............................................................................................... 167
4.1. Операторы момента импульса ........................................................................................ 168
4.2. Сферическая функция ...................................................................................................... 170
4.3. Момент импульса и оператор Лапласа в f-мерном пространстве ................................ 174
Примеры 5................................................................................................................................ 178
Задачи 3 .................................................................................................................................... 181
Стр.3
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 5. ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЕ И ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ
СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ ................................................................................. 183
5.1. Уравнение Шрѐдингера в сферических координатах ................................................... 184
5.2. Уравнение Шрѐдингера в цилиндрических координатах ............................................. 188
5.3. Водородоподобный атом ................................................................................................. 190
Примеры 6................................................................................................................................ 197
Глава 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ................................................................................... 213
6.1. Стационарное возмущение невырожденных состояний .............................................. 213
Примеры 7................................................................................................................................ 218
6.2. Стационарное возмущение вырожденных состояний .................................................. 225
6.3. Зависящее от времени возмущение ................................................................................ 229
Примеры 8................................................................................................................................ 236
6.4. Вариационный метод ....................................................................................................... 240
Примеры 9................................................................................................................................ 243
Глава 7. ЗАРЯЖЕННАЯ ЧАСТИЦА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ ......................... 249
7.1. Градиентное преобразование .......................................................................................... 249
7.2. Квантовая частица и электромагнитное поле ................................................................ 252
7.3. Уровни Ландау ................................................................................................................. 256
7.4. Эффект Ааронова–Бома .................................................................................................. 261
7.5. Квантование электромагнитного излучения.................................................................. 266
Примеры 10.............................................................................................................................. 271
Глава 8. СПИН ЭЛЕКТРОНА ..................................................................................................... 287
8.1. Операторы спина и спиноры ........................................................................................... 288
Примеры 11.............................................................................................................................. 294
8.2. Уравнение Паули ............................................................................................................. 304
8.3. Тождественность микрочастиц и принцип Паули ........................................................ 311
8.4. Обменное взаимодействие .............................................................................................. 315
Задачи 4 .................................................................................................................................... 319
Глава 9. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА–ВЕЙЛЯ. ГРАФЕН ............................................................. 323
9.1. Получение и свойства графена ....................................................................................... 323
9.2. Уравнение Дирака–Вейля................................................................................................ 328
9.3. Графен в магнитном поле ................................................................................................ 336
9.4. Эффект Клейна ................................................................................................................. 338
9.5. Графеновые наноленты ................................................................................................... 341
Приложения ...................................................................................................................................... 345
1. Физические постоянные ..................................................................................................... 345
2. Интегралы ............................................................................................................................ 346
3. Дифференциальное уравнение обобщенного гипергеометрического типа ................... 348
4. Ортогональные полиномы.................................................................................................. 349
Библиографический список ............................................................................................................ 351
Предметный указатель ..................................................................................................................... 353
Стр.4