ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2004. Т. 45, NУДК
534.222.2:533.6.011
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН ДЕТОНАЦИИ
В ЗАКРУЧЕННЫХ ПОТОКАХ ГАЗА
В. А. Левин, Г. А. Скопина
Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, 690041 Владивосток
Исследовано распространение детонационных и ударных волн в вихревых потоках газов,
начальное состояние которых характеризуется значениями давления, плотности
и скорости, в общем случае являющимися функциями координаты — расстояния от
оси симметрии. Рассматривается вращающееся осесимметричное течение, когда кроме
продольной скорости с неоднородным профилем имеется поперечная составляющая.
Анализируется возможность распространения волн детонации в режиме Чепмена —
Жуге во вращающихся потоках. Получено необходимое условие существования волны
Чепмена — Жуге.
Ключевые слова: вихрь, ударная волна, волна детонации, осесимметричное течение,
поверхность разрыва, волна Чепмена — Жуге.
Изменение завихренности в закрученных потоках на поверхности разрыва.
Рассмотрим осесимметричное закрученное течение, когда кроме продольной скорости с
неоднородным профилем имеется поперечная составляющая. Такое течение для идеального
совершенного газа описывается следующей системой уравнений:
∂ρ
∂t +v ∂ρ
∂w
∂t +v ∂w
∂r + vw
∂
∂t
p
ργ
ρ∂v
∂t +v ∂v
∂r +ρ ∂v
∂r −
w2
r
r = 0,
+v ∂
∂r
∂r + ρv
r = 0,
+ ∂p
∂r = 0,
∂u
∂t +v ∂u
p
ργ
= 0.
Здесь u, v, w — соответствующие компоненты скорости в цилиндрической системе координат
(x, r,ϕ); ρ — плотность; p — давление; t — время.
Стационарное решение системы (1) записывается в виде
u = u0(r), v0 = 0, w = w0(r), ρ = ρ0(r), p0 =
при этом вектор вихря 2ω = rotV имеет компоненты
ω0r = 0, ω0x = 1
2r
проекта 02-01-00110).
∂rw0
∂r , ω0ϕ = −
1
2
ρ0w02
r dr,
∂u0
∂r .
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код
(2)
∂r = 0,
(1)
◦ 4
3
Стр.1
4
ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2004. Т. 45, N◦
4
Если в начальный момент времени на оси симметрии произойдет взрыв, в результате
которого образуется взрывная ударная волна, или произойдет поджигание смеси с образованием
волны детонации, то в потоке будет распространяться цилиндрическая ударная
или детонационная волна (ДВ).
Найдем выражение для компонент вектора вихря непосредственно за поверхностью
разрыва. Для этого определим величины ∂u/∂r и ∂w/∂r непосредственно за скачком при
r = R(t) (R(t) — закон движения поверхности разрыва). Используя уравнения (1), можно
получить выражения для этих производных через значения величин за скачком уплотнения
и их производных по времени:
∂u
∂r
ω1ϕ = 1
2
s
= −
u˙1
В этих формулах точка означает дифференцирование по времени соответствующих величин
на поверхности разрыва, индекс 1 относится к параметрам за скачком.
Для компонент вектора вихря за разрывом получим
v1 − ˙R
u˙1
Для компонент вектора вихря перед скачком имеем
ω0ϕ = −
v˙1 − ˙R
1
2
ω1x
ω0x
u0 = u1, w0 = w1. Учитывая это обстоятельство и закон сохранения массы на скачке,
получим
На поверхности разрыва тангенциальные компоненты скорости непрерывны, т. е.
u˙0
R˙ , ω0x = 1
2
= ω1ϕ
ω0ϕ
= D
D −v1
R˙
= ρ1
ρ0 .
(3)
Скорость распространения разрыва ˙R = D.
Из (3) непосредственно следует, что величины ωx/ρ и ωϕ/ρ непрерывны при переходе
через поверхность разрыва независимо от того, является разрыв ударной волной или
волной детонации.
Таким образом, для описанного класса течений на поверхности разрыва выполняется
закон сохранения величины ω/ρ, хотя сами величины ω и ρ терпят разрыв. Отметим, что
завихренность потока при переходе через скачок возрастает пропорционально отношению
плотностей. Следовательно, при одной и той же скорости скачка завихренность за ударной
волной выше, чем за ДВ.
Этот вывод справедлив и для плоского сдвигового течения.
Возможность распространения ДВ во вращающихся потоках в режимеЧепмена
— Жуге. Рассмотрим распространение расходящейся волны детонации в закрученных
потоках газа с начальным распределением параметров (2). Детонационная волна
рассматривается как поверхность разрыва, на которой при сгорании единицы массы газа
выделяется тепло Q, величина которого также зависит от координаты Q = Q(r). Течение
за фронтом детонации описывается уравнениями Эйлера (1).
На фронте ДВ, распространяющейся в режиме Чепмена — Жуге, выполняются следующие
соотношения [1]:
ρJ = ρ0 γ +1
γ +qJ
, pJ = p0 γ +qJ
(γ +1)qJ
uJ = u0, wJ = w0, D2
J = a02
qJ
, vJ = DJ
1−qJ
γ +1 ,
, a02 = γ p0
ρ0 , a2
J = γpJ
ρJ
,
(4)
,
s
= −
w˙ 1 +v1w1/R
v1 − ˙R
, ω1x = 1
2
w˙ 1 +v1w1/R
v1 −R
w0
R + ˙w0
w1
R −
, ω1r = 0.
.
∂w
∂r
.
Стр.2
В. А. Левин, Г. А. Скопина
q2
J −2qJ[1+(γ2 −1)Q/a02]+1 = 0.
Здесь индексом J обозначены параметры газа и скорость волны в режиме Чепмена—Жуге.
Система уравнений газовой динамики, будучи гиперболической, имеет три семейства
характеристик, на которых выполняются соответствующие характеристические соотношения
[1]. Если при этом на некоторой достаточно гладкой линии r0(t) значения функций
удовлетворяют одному из характеристических соотношений, но не удовлетворяют другому
соотношению на характеристике, то эта линия является огибающей соответствующего семейства
характеристик системы уравнений (1) и решение в ее окрестности следует искать
в виде
p(r, t) = p0(t)+p1(t)r0(t)−r +p2(t)(r0(t)−r)+p3(t)(r0(t)−r)3/2 +. . .
(5)
(аналогично для всех остальных искомых параметров) [1].
Этот подход использовался для определения условий существования плоских детонационных
волн Чепмена — Жуге во внешних электрических и магнитных полях [2], а
также для анализа распространения ДВ в неоднородных средах [3]. Для произвольных
систем квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка исследованы
условия существования и определен вид асимптотического разложения решения в окрестности
огибающей характеристических поверхностей, на которой заданы начальные значения
функций [4]. Сходимость соответствующих рядов доказана в [5].
Если подставить разложения (5) в систему уравнений (1), то получим бесконечную
систему алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения. Часть ее
для коэффициентов с индексами 0, 1 и 2 имеет вид
ρ1(D −v0)−ρ0v1 = 0, p1 −ρ0(D −v0)v1 = 0, ρ0p1 −γp0ρ1 = 0,
u1(D −v0) = 0, w1(D −v0) = 0;
ρ2(D −v0)−ρ0v2 = ρ1v1 − ˙ρ0 −ρ0v0/r0,
ρ0v2(D −v0)−p2 = ρ0w2
0/r0 −ρ0 ˙v0,
(D −v0)(ρ0p2 −γp0ρ2) = γp0 ˙ρ0 −ρ0 ˙p0 +(γ −1)ρ0p1v1/2,
u2(D −v0) = −˙u0, w2(D −v0) = − ˙w0 −v0w0/r0.
(6)
5
(7)
Здесь дифференцирование по t обозначено точкой, а D = ˙r0. Так как ДB распространяется
в режиме Чепмена — Жуге, то D − v0 = a0, т. е. выполняется характеристическое
соотношение [1]. Отсюда следует, что определители систем (6) и (7), а также систем всех
последующих приближений для нахождения коэффициентов разложения vk, ρk, pk равны
нулю.
Коэффициенты разложения uk и wk находятся сразу по известным значениям предыдущих
коэффициентов, причем u1 = w1 = 0. Поэтому разложение в ряд для скоростей u
равенство нулю расширенного определителя системы. Из этого условия следует соотношение
γ
−1
2 ρ0p1v1 −ρ0 ˙p0 +γp0ρ1v1 +ρ2
из которого с учетом (6) находим
ρ2
1 = 2ρ3
0
γ(γ +1)p0
˙v0 − r0
w2
0(D −v0)w2
0
r0 − ˙v0 −
0 +(D −v0)v0
r0
+ ˙p0
γp0
γp0ρ0v0
r0
.
= 0,
и w имеет вид u = u0 +u2( ˙r0 −r)+u3( ˙r0 −r)3/2 +. . . .
Для совместности линейной системы уравнений (7) и всех последующих необходимо
Стр.3