МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВОРОНЕЖСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Методическое пособие по курсу ДС.00 “Теория автоматического
управления” для студентов специальности 010200—Прикладная
математика и информатика
ВОРОНЕЖ
2003
Стр.1
3
Содержание
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1. Методика применения интегральных оценок . . . . . . . . . . 3
2. Вычисление линейных интегральных оценок . . . . . . . . . . 4
3. Вычисление квадратичных интегральных оценок . . . . . . . . 7
4. Примеры вычисления и применения
интегральных оценок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Введение
Интегральные оценки качества являются косвенными показателями,
позволяющими по переходной составляющей ошибки системы регулирования
исследовать характер протекания переходного процесса (перерегулирование,
быстродействие, степень колебательности, коэффициент
затухания, оптимальные параметры и т.п.). Находят применение линейные
и квадратичные интегральные оценки.
1. Методика применения интегральных оценок
Линейными интегральными оценками называют оценки вида
Ik(α) =
0
∞
e−αttkε(t) dt,
(1)
где ε(t)—переходная составляющая ошибки регулирования, α—вещественный
неотрицательный параметр, k ∈ Z0 —целое неотрицательное
число. При α = 0 оценка (1) представляет собой момент k-го порядка
функции ε(t), т.е.
Ik = Ik(0) =
0
∞
tkε(t) dt.
Квадратичными оценками называют следующие интегралы:
Jk =
0
∞ k
i=0
τi
i ε(i)(t)2
dt.
(2)
Стр.3
6
Из соотношения (5) сразу следует, что ε(t) является решением дифференциального
уравнения
a0ε(n)(t)+a1ε(n−1)(t)+. . .+an−1 ˙ε(t)+anε(t) =
= b0δ(m)(t)+b1δ(m−1)(t)+. . .+bm−1 ˙δ(t)+bmδ(t) (7)
с нулевыми начальными условиями, где δ(t) — дельта-функция Дирака.
Однако на практике переходную составляющую ошибки ε(t) удобнее
рассматривать как решение однородного уравнения
a0ε(n)(t)+a1ε(n−1)(t)+. . .+an−1 ˙ε(t)+anε(t) = 0
при ненулевых начальных условиях
ε(0) = ε0, ˙ε(0) = ε1, . . . , ε(n−1)(0) = εn−1.
(8)
(9)
Допустим, что n −m = l > 0. Выразим начальные значения εi через
коэффициенты дифференциального уравнения (7). Применяя к уравнениям
(7) и (8) теорему о дифференцировании оригинала, соответственно
получаем
k=0
n
k=0
n
aksn−kE(s) =
ak
r=0
m
brsm−r,
sn−kE(s)−
Отсюда сразу вытекает условие
m
r=0
k=0
ak
n−k
i=1
brsm−r =
Нетрудно проверить, что
n
sn−k−iεi =
n−k
i=1
k=0
n
ak
n−1
k=0
ak
n−k
i=1
n−k
i=1
sn−k−iεi =
n−1
k=0
sn−1−k
i=0
k
ak−iεi.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях s, окончательно
находим
εr =
0,
1
a0
br−l+1 +
r−1
k=0
ar−kεk
r = 0, l −2,
, r = l −1, l −1+m.
(10)
sn−k−iε(i−1)(0) = 0.
sn−k−iεi.
Стр.6
7
Рассмотрим далее метод аналитического вычисления интеграла I0,
предложенный академиком В. С. Кулебакиным [3], для заданного дифференциального
уравнения (8) с начальными условиями (9). Делая подстановку
значения ε(t) из уравнения (8), при an = 0 имеем
∞
I0 =
0
ε(t) dt = −an
1
= −an
0
∞
a0ε(n)(t)+. . .+an−1 ˙ε(t) dt =
1 a0ε(n−1)(t)+a1ε(n−2)(t)+. . .+an−2 ˙ε(t)+an−1ε(t)∞
0
.
Будем предполагать, что при t = ∞ переходный процесс закончился и
регулируемая величина приняла установившееся значение. Тогда
ε(n−1)(t)
t=∞
I0 = 1
an
= ε(n−2)(t)
t=∞
= . . . = ˙ε(t)
t=∞
= ε(t)
Таким образом, значение I0 определяется по формуле
[a0εn−1 +a1εn−2 +. . .+an−2ε1 +an−1ε0]
(11)
исходя из заданных начальных значений εi и коэффициентов ar. Поскольку
br
=
то
bm =
l−1+r
i=0
n−1
i=0
и формулы (6) и (11) эквивалентны.
3. Вычисление квадратичных интегральных оценок
Для вычисления интеграла J0 воспользуемся методом, указанным академиками
А. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси в 1909 г. [3]. Пусть
задано дифференциальное уравнение (8) с начальными условиями (9).
Умножим уравнение (8) поочередно на ε(r)(t) при r = 0,n−1 и почленно
проинтегрируем полученные уравнения
n
i=0
an−i
0
∞
ε(r)(t)ε(i)(t) dt = 0, r = 0,n−1.
(12)
an−1−iεi
al−1+r−iεi, r = 0,m,
t=∞
= 0.
Стр.7
8
Введем обозначение
Φri =
0
∞
ε(r)(t)ε(i)(t) dt.
(13)
Учитывая, чтоΦri = Φir, перепишем систему уравнений (12) следующим
образом:
anΦ00 +an−1Φ01 +. . .+a1Φ0,n−1 +a0Φ0n = 0
anΦ01 +an−1Φ11 +. . .+a1Φ1,n−1 +a0Φ1n = 0
anΦ02 +an−1Φ12 +. . .+a1Φ2,n−1 +a0Φ2n = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
anΦ0,n−2 +an−1Φ1,n−2 +. . .+a1Φn−2,n−1 +a0Φn−2,n = 0
anΦ0,n−1 +an−1Φ1,n−1 +. . .+a1Φn−1,n−1 +a0Φn−1,n = 0.
Нетрудно показать, что интегралΦν,ν+ρ в зависимости от четности ρ определяется
равенством
Φν,ν+ρ =
где
J0r =
0
Ψν,ν+ρ =
∞
ε(r)(t)2
µ−1
i=0
µ−1
i=0
dt, r = 0,n−1,
(−1)iεν+iεν+ρ−1−i,
(−1)iεν+iεν+ρ−1−i + (−1)µ
2 ε2
ρ = 2µ,
(17)
ν+µ, ρ = 2µ+1.
Подставляя значения интегралов Φri, определенные по формуле (15), в
(14) получаем следующую систему из n уравнений относительно неиз(16)
−Ψν,ν+ρ
+(−1)µJ0,ν+µ, ρ = 2µ,
−Ψν,ν+ρ,
ρ = 2µ+1,
(15)
(14)
Стр.8