Пушкинская, 17
E=mail: molkov@kspu.karelia.ru
В качестве исходных положений статистической физики и термодинамики
предлагается использовать формулу Больцмана, связывающую энтропию со
статистическим весом состояния системы и его постулат о равновероятности
микросостояний замкнутой равновесной системы. <...> Понятие энтропии является одним из самых сложных для понимания
студентами в курсах общей и теоретической физики. <...> Статистическое истолкование второго начала термодинамики Больцманом
позволяет связать энтропию S со статистическим весом (термодинамической
вероятностью) макросостояния системы Ùá , который представляет собой число
микросостояний системы, реализующих данное α макросостояние:
S = kln Ùá , <...> Для квазинезависимых подсистем
статистический вес является мультипликативной величиной: Ù = Ù1 Ù2 , где
Ù , Ù1 , Ù2 – статистические веса системы и двух ее подсистем, так как каждому
микросостоянию подсистемы 1 соответствует Ù2 микросостояний подсистемы <...> Тогда возможное число микросостояний всей системы 1+2 равно
произведению Ù1 Ù2 . <...> С.И. Мольков
Если считать все микросостояния системы равновероятными (постулат
Больцмана), то вероятность нахождения системы в α=макросостоянии равна
Wα= Ùá Ù0 , где Ù0 – общее число микросостояний, достижимых системой. <...> Это положение удобно прокомментировать классическим примером
сосуда с газом из N молекул: Число микросостояний отдельной молекулы (под
микросостоянием здесь подразумевается нахождение молекулы в одной из
половин сосуда) равно 2. <...> Пусть Ù (E α) –
статистический вес системы, а Ù T (E=Eα) – статистический вес термостата. <...> В классической статистической физике статистический вес
макросостояния Ù (Eα , N α ) или d Ù остается неопределенной величиной, что не
помешало получить приведенные выше результаты. <...> Здесь N число
тождественных частиц системы; g á статистический вес связанный с внутренними
степенями свободы частиц; dVγ объем области фазового пространства
s
соответствующий <...>
Физическое_образование_в_вузах_№4_2008.pdf
Физическое образование в вузах. Т. 14, № 4, 2008
Понятие энтропии в курсе физики
Понятие энтропии в курсе физики
С.И. Мольков
Карельский государственный педагогический университет
185680, Россия, Республика Карелия, г. Петрозаводск, ул. Пушкинская, 17
Email: molkov@kspu.karelia.ru
В качестве исходных положений статистической физики и термодинамики
предлагается использовать формулу Больцмана, связывающую энтропию со
статистическим весом состояния системы и его постулат о равновероятности
микросостояний замкнутой равновесной системы. Понимание студентами
физического смысла энтропии при таком подходе становится яснее, а вывод
основных положений термодинамики и статистической физики существенно
упрощается.
Понятие энтропии является одним из самых сложных для понимания
студентами в курсах общей и теоретической физики. Традиционный подход к
этому понятию основан на втором начале термодинамики в формулировках
Клаузиуса или Томсона, из которых довольно сложным путем можно ввести
понятие функции состояния системы – энтропии [1]. Изменение энтропии в
равновесных и неравновесных процессах определяется формулой dS ≥δQ/T, где δQ –
количество тепла, получаемое системой при температуре T.
Статистическое истолкование второго начала термодинамики Больцманом
позволяет связать энтропию S со статистическим весом (термодинамической
вероятностью) макросостояния системы б
микросостояний системы, реализующих данное
S kln Ù=
б ,
где k–постоянная Больцмана.
Щ – статистические веса системы и двух ее подсистем, так как каждому
микросостоянию подсистемы 1 соответствует 2
Щ 2Ù , где
Щ ,Ù ,
2
Щ микросостояний подсистемы
2. Тогда возможное число микросостояний всей системы 1+2 равно
произведению 1
Щ . Учитывая формулу (1), можно заключить, что энтропия
системы является, подобно внутренней энергии, аддитивной величиной S=S1
Щ 2
+S2
то есть экстенсивным параметром.
,
По нашему мнению, формулу Больцмана (1) можно использовать, как
исходное положение статистической физики, что существенно упрощает
последующее изложение, позволяет обосновать принципы термодинамики и
получить без труда важные следствия. Для квазинезависимых подсистем
статистический вес является мультипликативной величиной: Ù= 1
1
Щ , который представляет собой число
макросостояние:
(1)
3
α
Стр.1
4
С.И. Мольков
Если считать все микросостояния системы равновероятными (постулат
Больцмана), то вероятность нахождения системы в
W Щб Ù0 , где
=
0
макросостоянии равна
Щ – общее число микросостояний, достижимых системой.
Очевидно, что замкнутая система стремится спонтанно перейти от
макросостояния с меньшей вероятностью к макросостоянию с максимальной
вероятностью. При этом энтропия системы возрастает и достигает максимума
(закон возрастания энтропии), а система статистического равновесия.
Это положение удобно прокомментировать классическим примером
. Число микросостояний для случая, когда в одной половине сосуда
находится n молекул, а в другой Nn молекул, равно n
состояния равна Wn
n =
Максимум Wn
:
Щ С n
N =
n!()!nN
N!
−
|nN/2|≤ N . Так, при N~1024
1/ N ~1012
, () N
n
W
=
n! N n !2
N!
−
.
приходится на n=N/2 и она заметно отлична от нуля в области
, относительная флюктуация n от N/2 составляет
. Хотя вероятность того, что все молекулы соберутся в одной из половин
сосуда (n=N), отлична от нуля, такому макросостоянию соответствует всего одно из
2N
микросостояний. Тогда, если производить 103
/(103
3 107
) ~3 1010
относительно небольшом N (N= 70), для наблюдения такого макросостояния
необходимо время 270
Вселенной (1.5 1010
измерений в секунду, даже при
лет, что в два раза превышает возраст
лет). Таким образом, рост степени упорядоченности в
замкнутой макросистеме (уменьшение энтропии) практически неосуществим.
Всегда реализуется режим, при котором растет степень неупорядоченности
(хаотизация), а, следовательно, и энтропия системы S.
Энтропия S для замкнутой равновесной системы величена сохраняющаяся
и в силу ее аддитивности должна определяться только аддитивными интегралами
движения, а для покоящейся системы ее внутренней энергией E.
S=S(E, a),
где a – совокупность обобщенных координат внешних полей. С помощью
экстенсивных параметров S и E равновесной системы можно ввести понятие
абсолютной температуры T:
∂ / =∂S E 1 T/
(2)
Причем, Te≥0, так как в противном случае рост S при переходе к равновесию
сосуда с газом из N молекул: Число микросостояний отдельной молекулы (под
микросостоянием здесь подразумевается нахождение молекулы в одной из
половин сосуда) равно 2. Общее число микросостояний для N молекул равно
2N
Щ , а вероятность этого
α
α
Стр.2