ISBN XXX-5-XXXXX-XXX-X
Изложены аналитические и приближенно-аналитические методы
и алгоритмы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. <...> Особое внимание уделено специфике решения задач анализа выходных процессов и устойчивости одномерных и многомерных
динамических систем, исследуемых в теории управления. <...> Уравнения, приводящиеся к уравнениям в полных
дифференциалах . <...> Линейные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами . <...> Линейные однородные уравнения с постоянными
коэффициентами . <...> Линейные неоднородные уравнения с постоянными
коэффициентами . <...> Системы линейных уравнений с постоянными
коэффициентами . <...> Методы нахождения и исследования общего решения
однородной системы . <...> Методы нахождения общего решения неоднородных систем 212 <...> Приближенно-аналитические методы решения
дифференциальных уравнений и систем . <...> Для нахождения решения уравнения применяются аналитические,
приближенно-аналитические и численные методы [16]. <...> Решение уравнения — искомое изменение напряжения uc(t) на конденсаторе — должно
удовлетворять дифференциальному уравнению (обращать его в тождество)
и начальному условию uc(0) = 0. <...> 1) анализ выходных процессов (при решении этой задачи по входному сигналу и описанию системы определяется выходной сигнал); <...> Естественным развитием и дополнением аналитических
подходов являются приближенно-аналитические методы, рассмотренные
в главе 7. <...> Уравнение (1.1) является уравнением n-го порядка (при n 2 уравнение (1.1) также называется уравнением высшего порядка). <...> Через эту
точку не проходит ни одна интегральная кривая семейства x(t) = C t, t = 0,
которое образуют решения исходного уравнения (рис. <...> Общее решение может быть записано в параметрической форме:
t = t(p, C1, . . . , Cn ), <...> При конкретных значениях C1 , . . . ,
Cn , включая ±∞, из общего решения выделяется частное решение,
а общий интеграл становится частным интегралом. <...> Решение задачи можно записать в параметрической форме следующим образом: t(p) = 5 cos p, x(p) = 5 <...>
Обыкновенные_дифференциальные_уравнения._Практический_курс__Учебное_пособие_.pdf
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ... ... .. ... ... ... .. ... ... ... ... .. 7
Глава 1. Общие теоретические положения . ... ... ... .. 15
1.1. Основные определения .. ... .. ... ... ... ... .. 15
1.1.1. Дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.2. Системы дифференциальных уравнений . . . . . . . 22
1.2. Основные понятия, связанные с исследованием и решением
дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.1. Интегрирование обыкновенных дифференциальных
уравнений ... ... ... .. ... ... ... ... .. 26
1.2.2. Сведение дифференциального уравнения высшего
порядка к системе дифференциальных уравнений . . 27
1.2.3. Поле направлений. Приближенное решение
уравнений методом изоклин . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2.4. Свойства решений линейных дифференциальных
уравнений и систем ... .. ... ... ... ... .. 30
1.2.5. Анализ выходных процессов . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2.6. Анализ устойчивости .. .. ... ... ... ... .. 35
Глава 2. Дифференциальные уравнения первого порядка .. 40
2.1. Уравнения с разделяющимися переменными . . . . . . . . 40
2.1.1. Метод решения ... ... .. ... ... ... ... .. 40
2.1.2. Уравнения, приводящиеся к уравнениям
с разделяющимися переменными . . . . . . . . . . . . 45
2.2. Однородные уравнения .. ... .. ... ... ... ... .. 50
2.2.1. Метод решения ... ... .. ... ... ... ... .. 50
2.2.2. Уравнения, приводящиеся к однородным . . . . . . . 53
2.3. Линейные уравнения ... ... .. ... ... ... ... .. 56
Стр.4
4
Оглавление
2.3.1. Метод решения ... ... .. ... ... ... ... .. 56
2.3.2. Уравнения, приводящиеся к линейным . . . . . . . . 62
2.4. Уравнение Риккати . ... ... .. ... ... ... ... .. 67
2.4.1. Случаи интегрируемости уравнения Риккати . . . . . 67
2.4.2. Метод вспомогательных переменных . . . . . . . . . 75
2.5. Уравнения в полных дифференциалах . . . . . . . . . . . . 77
2.5.1. Метод решения ... ... .. ... ... ... ... .. 77
2.5.2. Уравнения, приводящиеся к уравнениям в полных
дифференциалах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.6. Уравнения, не разрешенные относительно производной . . 97
2.6.1. Постановка задачи . ... .. ... ... ... ... .. 97
2.6.2. Уравнения первого порядка n-й степени ... ... .. 99
2.6.3. Неполные уравнения ... .. ... ... ... ... .. 101
2.6.4. Полные уравнения . ... .. ... ... ... ... .. 105
2.7. Уравнения высшего порядка, приводящиеся к уравнениям
первого порядка. Понижение порядка дифференциальных
уравнений . . . ... ... ... .. ... ... ... ... .. 113
2.8. Простейшие краевые задачи .. .. ... ... ... ... .. 123
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего
порядка . . . ... ... ... .. ... ... ... ... .. 131
3.1. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.1.1. Линейные однородные уравнения с постоянными
коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.1.2. Линейные неоднородные уравнения с постоянными
коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.2. Решение задачи Коши .. ... .. ... ... ... ... .. 154
3.3. Анализ выходных процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.4. Анализ устойчивости ... ... .. ... ... ... ... .. 164
3.5. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка
с переменными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . 167
3.5.1. Уравнение Эйлера . ... .. ... ... ... ... .. 167
Стр.5
Оглавление
5
3.5.2. Линейные дифференциальные уравнения второго
порядка с переменными коэффициентами . . . . . . . 178
Глава 4. Системы линейных уравнений с постоянными
коэффициентами ... ... .. ... ... ... ... .. 186
4.1. Методы нахождения и исследования общего решения
однородной системы ... ... .. ... ... ... ... .. 186
4.1.1. Метод приведения системы линейных уравнений
к одному уравнению высшего порядка . . . . . . . . . 187
4.1.2. Метод сведения решения системы к задаче отыскания
собственных значений и собственных векторов
матрицы системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
4.1.3. Метод неопределенных коэффициентов . . . . . . . . 203
4.2. Методы нахождения общего решения неоднородных систем 212
4.2.1. Метод приведения системы линейных уравнений
к одному уравнению высшего порядка . . . . . . . . . 212
4.2.2. Метод вариации произвольных постоянных . . . . . . 218
4.2.3. Метод подбора частного решения . . . . . . . . . . . 223
4.3. Решение задачи Коши .. ... .. ... ... ... ... .. 234
4.4. Анализ выходных процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
4.5. Анализ устойчивости линейных многомерных
стационарных динамических систем . . . . . . . . . . . . . 243
Глава 5. Применение операционного исчисления ... ... .. 248
5.1. Преобразование Лапласа . ... .. ... ... ... ... .. 248
5.1.1. Основные определения . . . ... ... ... ... .. 248
5.1.2. Свойства преобразования Лапласа . . . . . . . . . . . 252
5.1.3. Нахождение изображения по оригиналу . . . . . . . . 259
5.1.4. Нахождение оригинала по изображению . . . . . . . 269
5.2. Применение преобразования Лапласа . . . . . . . . . . . . 275
5.2.1. Решение линейных дифференциальных уравнений
и систем . ... ... ... .. ... ... ... ... .. 275
5.2.2. Применение передаточных функций для анализа
выходных процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
Стр.6
6
Оглавление
Глава 6. Анализ поведения динамических систем на фазовой
плоскости .. ... ... ... .. ... ... ... ... .. 303
6.1. Динамические системы и их исследование в фазовом
пространстве. Основные положения . . . . . . . . . . . . . 303
6.2. Анализ поведения линейных динамических систем второго
порядка на фазовой плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . 306
6.3. Анализ поведения нелинейных автономных динамических
систем второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
Глава 7. Приближенно-аналитические методы решения
дифференциальных уравнений и систем .. ... .. 335
7.1. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью
степенных рядов .. ... ... .. ... ... ... ... .. 335
7.1.1. Постановка задачи . ... .. ... ... ... ... .. 335
7.1.2. Метод неопределенных коэффициентов . . . . . . . . 337
7.1.3. Метод последовательного дифференцирования . . . . 347
7.2. Метод последовательных приближений . . . . . . . . . . . 354
7.3. Спектральный метод ... ... .. ... ... ... ... .. 362
7.4. Метод Чаплыгина . ... ... .. ... ... ... ... .. 372
7.5. Метод Ньютона–Канторовича . . . ... ... ... ... .. 376
Предметный указатель .. ... ... .. ... ... ... ... .. 380
Список литературы . ... ... ... .. ... ... ... ... .. 382
Стр.7
ВВЕДЕНИЕ
Дифференциальные уравнения являются одним из основных разделов
математики, наиболее широко используемых при решении практических
задач. Причина этого состоит в том, что при исследовании физических
процессов, решении различных прикладных задач, как правило, не удается
непосредственно найти законы, связывающие величины, которые характеризуют
исследуемые явления. Обычно легче устанавливаются зависимости
между теми же величинами и их производными или дифференциалами.
Соотношения такого рода называются дифференциальными уравнениями.
Решение
задачи исследования физического явления можно разделить
на два этапа:
1) составление дифференциального уравнения, которое при определенных
предположениях описывает сущность рассматриваемого явления;
2) нахождение решения дифференциального уравнения, т.е. функциональной
зависимости между величинами, характеризующими исследуемое
физическое явление.
Возможности и правила составления дифференциальных уравнений
определяются знанием законов той области науки, с которой связана природа
изучаемой задачи. Так, например, в механике могут использоваться
законы Ньютона, в теории электрических цепей—законы Кирхгофа, в теории
скоростей химических реакций — законы действия масс и т.д. Однако
на практике часто случается, что законы, которые могли бы позволить составить
дифференциальное уравнение, неизвестны. Тогда прибегают к различным
упрощающим предположениям, касающимся протекания процесса
при малых изменениях параметров-переменных. К дифференциальным
уравнениям в таком случае приводит предельный переход. Вопрос соответствия
математической модели и реального явления решается на основе
анализа результатов опытов и сравнения их с поведением решения полученного
дифференциального уравнения.
Для нахождения решения уравнения применяются аналитические,
приближенно-аналитические и численные методы [16]. Аналитические методы
позволяют найти точное решение задачи, но лишь для ограниченного
класса дифференциальных уравнений. С помощью приближенноаналитических
и численных методов получают приближенные решения,
но для значительно более широкого круга проблем.
Стр.8
Обыкновенные_дифференциальные_уравнения._Практический_курс__Учебное_пособие__(1).pdf
А.В.ПАНТЕЛЕЕВ
А.С. ЯКИМОВА
К.А. РЫБАКОВ
ОБЫКНОВЕННЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
ПРАКТИЧЕСКИЙ КУРС
Допущено Учебно-методическим объединением по образованию
в области прикладной математики и управления качеством
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению подготовки «Прикладная математика»
специальности «Прикладная математика»
Москва
Логос
2010
Стр.1
УДК 517.9
ББК 22.161.5
Ï16
Серия основана в 2003 году
Рецензенты
Кафедра «Высшая математика» Московского государственного
горного университета (зав. кафедрой доктор технических наук,
профессор С.А. Редкозубов)
В.Ф. Формалев, доктор физико-математических наук, профессор,
заслуженный деятель науки Российской Федерации
(Московский авиационный институт)
Пантелеев А.В.
П16 Обыкновенные дифференциальные уравнения. Практический
курс: учеб. пособие с мультимедиа сопровождением /
À.Â. Пантелеев, À.Ñ. ßêèìîâà, Ê.À. Рыбаков – Ì.: 2010. –
384 с.: ил. (Новая университетская библиотека).
ISBN 978-5-98704-465-0
Изложены аналитические и приближенно-аналитические методы и алгоритмы
решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Применение каждого
метода продемонстрировано на решении типовых и нетиповых примеров,
охватывающих различные приложения к задачам механики, экономики, расчета
электрических цепей и биологических систем. Особое внимание уделено специфике
решения задач анализа выходных процессов и устойчивости одно- и многомерных
динамических систем, исследуемых в теории управления.
Для студентов высших учебных заведений, получающих образование по направлению
(специальности) «Прикладная математика», а также по направлениям
(специальностям) естественных наук, техники и технологии, информатики
и экономики на квалификацию специалиста, степени бакалавра и магистра.
УДК 517.9
ББК 22.161.5
À.Â. Пантелеев, À.Ñ. ßêèìîâà, Ê.À. Рыбаков
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Практический курс
Учебное пособие
Учебное издание
Редактор Е.В. Комарова
Компьютерная верстка А.В. Пантелеева
Оформление И.В. Кравченко
Подписано в печать 00.00.00. Формат 60õ90/16.
Печать офсетная. Бумага офсетная. Печ.л. 24.
Тираж 1000 ýêç. Заказ ¹
Литературное агентство «Университетская книга»
105120, ã. Ìîñêâà, óë. Íèæ. Сыромятническая, ä. 5/7, ñòð. 8
ISBN 978-5-98704-465-0
©À.Â. Пантелеев, À.Ñ. ßêèìîâà,
Ê.À. Ðûáàêîâ, 2010
©Ëîãîñ, 2010
По вопросам приобретения литературы обращаться по адресу:
111024, ã. Ìîñêâà, óë. Авиамоторная, ä. 55, êîðï. 31
Электронная ïî÷òà: universitas@mail.ru
Дополнительная информация на сайте http://www.logosbook.ru
Стр.2