Сходимость и точность квадратурных формул прямоугольников, трапеций и
Симпсона. <...> Определение границы интервала сходимости 0 метода простой итерации. <...> Определение оптимального значения итерационного параметра * , при котором
скорость сходимости метода простой итерации наибольшая. <...> Случай, когда процесс построения последовательности xn обрывается из-за
плохого выбора нулевого приближения. <...> Зависимость точности численного решения задачи Коши (51), (52) по схеме
Эйлера от шага h . <...> ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
СИСТЕМ (СЛАУ)
Equation Chapter 1 Section 1В этой главе рассматривается одна из самых важных
задач линейной алгебры – решение систем линейных алгебраических уравнений, в
которых число уравнений равно числу неизвестных:
a11 x1 a12 x2 a1n xn f1
a21 x1 a22 x2
a 2 n xn f 2
an1 x1 an 2 x2
ann xn f n <...> Из
проведенного анализа ясно, что рассчитывать решение СЛАУ по формулам Крамера с
вычислением определителей «в лоб» невозможно, т. е. практическая ценность этих
формул невелика. <...> Блестящий конструктивный выход из критической ситуации, описанной выше,
дает метод Гаусса. <...> Затем на втором
этапе (обратный ход) осуществляется последовательное отыскание неизвестных
x1 , , xn из этой треугольной системы. <...> (12)
x1 y1 c12 x2 c13 x3 c1n xn
Подсчитаем число арифметических операций, которое требуется выполнить при
решении СЛАУ по методу Гаусса. <...> Запишем k -ое уравнение системы (25) в виде
n
ak ,k xk ak , j x j
j 1
j k
и возьмем модуль от обеих частей этого равенства. <...> (27)
Сокращая неравенство (27) на множитель xk , который, согласно (26), не равен нулю,
придем к противоречию с неравенством (24), выражающим диагональное
преобладание. <...> Здесь величины i 1 , i 1 <...>
Вводные_лекции_по_численным_методам_Учебное_пособие_.pdf
Аннотация
Книга содержит материал семестрового курса, который авторы в течение многих лет
читали на факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ и в его
филиалах в Севастополе и Астане для студентов второго курса. Цель книги –
познакомить читателей с численными методами решения основных задач линейной
алгебры, математического анализа и обыкновенных дифференциальных уравнений.
Книга предназначена для студентов классических университетов, педагогических и
технических вузов, специальность которых требует применения компьютерных
методов в их будущей профессиональной деятельности.
Стр.1
Предисловие
Книга содержит материал семестрового курса, который авторы в течение многих
лет читали на факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ, а в
последние годы и в его филиалах в Севастополе и Астане.
Опыт преподавания показал, что для студентов прикладных специальностей,
имеющих дело с компьютерами, весьма полезно приступить к изучению численных
методов по возможности раньше, одновременно с приобретением навыков
программирования, закрепляя навыки во время работы в компьютерном практикуме.
Это способствует более глубокому неформальному усвоению материала как по
математике, так и по компьютерным технологиям. Поэтому по инициативе академика
А. А. Самарского был разработан и включен в учебный план факультета курс
«Вводные лекции по численным методам», который читается в третьем семестре.
Цель курса заключается в том, чтобы рассказать студентам о численных
методах, которые появляются с самого начала их обучения в базовых математических
курсах - в линейной алгебре, математическом анализе, обыкновенных
дифференциальных уравнениях. Такой принцип отбора материала и определил
включение в название курса, а теперь и книги термина «Вводные лекции».
Теоретическое обоснование методов проводится на достаточно строгом уровне с
доказательством сходимости и оценкой погрешности. Проводится сравнение разных
методов решения одной и той же математической задачи, обсуждаются их достоинства
и недостатки. Особое внимание обращается на алгоритмические аспекты и
организацию вычислительного процесса.
Книга построена таким образом, что ее отдельные главы можно читать
независимо. Ссылок на материал предыдущих глав практически нет. Этот принцип
выдержан также при техническом оформлении материала: нумерация формул,
рисунков, таблиц в каждой главе независимая.
Книга написана, прежде всего, в расчете на будущих специалистов по
прикладной математике и информатике, которых сейчас готовят многие университеты
и технические вузы. Ею также могут воспользоваться студенты естественных
факультетов университетов, педагогических и экономических институтов при
знакомстве с численными методами решения базовых математических задач и
компьютерной обработкой различного рода информации.
Авторы признательны своему учителю академику Александру Андреевичу
Самарскому, под влиянием которого сложился подход и стиль изложения книги.
Полезные обсуждения ряда вопросов состоялись с А. В. Гулиным, Г. Д. Ким, С. И.
Мухиным. Мы считаем приятным долгом поблагодарить их за это. Благодарим также
А. Я. Буничеву, А. В. Леоненко, А. Б Хруленко за большую помощь при подготовке
компьютерной версии рукописи.
Стр.2
Оглавление
Глава 1. Численное решение линейных алгебраических систем (СЛАУ).
1. Прямые методы решения СЛАУ.
1.1. Формулы Крамера.
1.2. Метод Гаусса.
1.3. Системы с диагональным преобладанием.
1.4. Системы с трехдиагональной матрицей. Метод прогонки
2. Обусловленность СЛАУ.
2.1. Норма матрицы.
2.2. Корректность решения СЛАУ.
2.3. Число обусловленности матрицы. Корректность решения СЛАУ.
2.4. Оценка числа обусловленности.
3. Итерационные методы.
3.1. Построение итерационных последовательностей.
3.2. Проблема сходимости итерационного процесса.
3.3.
Достаточные условия сходимости итерационного процесса.
3.4. Метод простой итерации.
3.5. Неявные методы. Метод Зейделя.
3.6. Метод верхней релаксации.
Глава 2. Численное решение уравнений.
1. Метод вилки. Теорема о существовании корня непрерывной функции.
2. Метод итераций (метод последовательных приближений).
3. Метод касательных (метод Ньютона).
4. Заключительные замечания.
Глава 3. Приближение функций.
1. Интерполирование
1.1. Классическая постановка задачи интерполирования.
1.2. Интерполирование полиномами.
1.3. Построение интерполяционного полинома в форме Лагранжа.
1.4. Интерполяционный полином в форме Ньютона.
1.5. Погрешность интерполирования.
1.6. О сходимости интерполяционного процесса.
1.7. Интерполяционный полином Эрмита.
2. Интерполирование сплайнами.
2.1. Определение кубического сплайна.
2.2. Формулировка системы уравнений для коэффициентов кубического сплайна.
2.3. Редукция системы.
2.4. Замечание о решении системы.
2.5. Сходимость и точность интерполирования сплайнами.
3. Метод наименьших квадратов.
Стр.3
Глава 4. Численное интегрирование.
1. Формула Ньютона-Лейбница и численное интегрирование.
2. Квадратурные формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона.
2.1. Квадратурные формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона и их
особенности.
2.2. Сходимость и точность квадратурных формул прямоугольников, трапеций и
Симпсона.
2.3. Апостериорные оценки погрешности при численном интегрировании.
3. Квадратурные формулы Гаусса.
3.1. Задача построения оптимальных квадратурных формул.
3.2. Полиномы Лежандра.
3.3. Узлы и весовые коэффициенты квадратурных формул Гаусса.
3.4. Исследование квадратурной формулы.
4. Построение первообразной с помощью численного интегрирования.
Глава 5. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.
1. Разностная аппроксимация производных.
1.1. Сеточные функции.
1.2. Разностная аппроксимация первой производной.
1.3. Разностная аппроксимация второй производной.
2. Численное решение задачи Коши.
2.1. Метод Эйлера.
2.2. Повышение точности разностного метода.
2.3. Метод Рунге-Кутта.
2.4. Метод Адамса.
3. Численное решение краевой задачи для линейного дифференциального
уравнения второго порядка.
Стр.4