Будущий специалист, избравший этот не самый легкий путь, должен обладать широкими и глубокими знаниями не
только во многих разделах «чистой» и «прикладной» математики и
информатики, но и аналогичными познаниями в относящихся к
объекту моделирования естественно-научных (физике, механике,
химии и др.) и/или гуманитарных дисциплинах. <...> Научное моделирование – это всегда логически обоснованное моделирование, использующее минимальное число предположений,
принятых в качестве гипотез на основании наблюдений за объектом моделирования. <...> Для «при34
кладных» математиков характерна меньшая оторванность от реальной жизни, поскольку математические соотношения связывают не
просто абстрактные математические объекты, а вполне конкретные
параметры реальных физических, химических, биологических или
социальных явлений или процессов. <...> Все объекты
моделирования можно разделить на две группы: простые и объекты-системы (рис. <...> В качестве примера подобного объекта можно привести материальную точку в классической
механике. <...> Классификация математических моделей в зависимости
от оператора модели
Выше отмечалось, что любая математическая модель может рассматриваться как некоторый оператор А, который является алгоритмом или определяется совокупностью уравнений – алгебраических, обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), систем ОДУ (СОДУ), дифференциальных уравнений в частных
производных (ДУЧП), интегродифференциальных уравнений
(ИДУ) и др. (рис. <...> Линейный
Нелинейный
Оператор модели
Алгоритмический
Простой
Сложный
Функция
ОДУ
Алгебраические
ДУЧП
СОДУ
ИДУ
Рис. <...> Классификация в зависимости от оператора модели
Если оператор обеспечивает линейную зависимость выходных
параметров Y от значений входных параметров Х, то математическая модель называется линейной (рис. <...> В случае, когда оператор модели является алгебраическим выражением, отражающим функциональную зависимость выходных
параметров Y от входных <...>
Введение_в_математическое_моделирование_Учебное_пособие___.pdf
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ................................................................................................... 6
Глава 1. Определение и назначение моделирования ................................ 11
1.1. Что такое ìîäåëü? ........................................................................... 13
1.1.1. Место моделирования среди методов познания ................. 13
1.1.2. Определение ìîäåëè............................................................... 16
1.1.3. Свойства моделей ................................................................... 19
1.1.4. Цели моделирования .............................................................. 21
1.2. Классификация моделей ................................................................ 23
1.2.1. Материальное ìîäåëèðîâàíèå............................................... 24
1.2.2. Идеальное моделирование ..................................................... 26
1.2.3. Когнитивные, концептуальные
и формальные модели ...................................................................... 29
1.3. Классификация математических ìîäåëåé.................................... 36
1.3.1. Классификационные признаки ............................................ 36
1.3.2. Классификация математических моделей
в зависимости от сложности объекта моделирования ................ 37
1.3.3. Классификация математических моделей
в зависимости от оператора модели ............................................. 39
1.3.4. Классификация математических моделей
в зависимости от параметров модели (ðèñ. 1.9) ........................ 42
1.3.5. Классификация математических моделей
в зависимости от целей моделирования (ðèñ. 1.11) ..................... 48
1.3.6. Классификация в зависимости
от методов реализации (ðèñ. 1.12) .................................................. 50
Вопросы для ñàìîïðîâåðêè........................................................................ 54
Задания для самостоятельного âûïîëíåíèÿ............................................. 55
Глава 2. Этапы построения математической модели ............................. 56
2.1. Обследование объекта моделирования ......................................... 58
2.2. Концептуальная постановка задачи моделирования .................. 62
2.3. Математическая постановка задачи моделирования .................. 66
2.4. Выбор и обоснование выбора метода решения задачи .............. 72
2.5. Реализация математической модели в виде
программы для ЭВМ ............................................................................. 78
2.6. Проверка адекватности модели ..................................................... 82
2.7. Практическое использование построенной модели
и анализ результатов моделирования .................................................. 86
Вопросы для ñàìîïðîâåðêè........................................................................ 90
Задания для самостоятельного âûïîëíåíèÿ............................................. 90
3
Стр.1
Глава 3. Примеры математических ìîäåëåé............................................. 92
3.1. Статический анализ êîíñòðóêöèé................................................. 94
3.2. Модель спроса-предложения ....................................................... 100
3.3. Динамика ïîïóëÿöèé.................................................................... 106
3.4. Модель конкуренции двух популяций ....................................... 116
3.5. Гармонический осцилятор ........................................................... 128
Задания для самостоятельного âûïîëíåíèÿ........................................... 138
Глава 4. Структурные модели .................................................................. 142
4.1. Что такое структурная ìîäåëü? ................................................... 143
4.2. Способы построения структурных моделей .............................. 152
4.3. Примеры структурных моделей .................................................. 162
Вопросы для ñàìîïðîâåðêè...................................................................... 180
Задания для самостоятельного âûïîëíåíèÿ........................................... 180
Глава 5. Моделирование в условиях неопределенности ........................ 181
5.1. Причины появления неопределенностей и их виды ................ 183
5.2. Моделирование в условиях неопределенности,
описываемой с позиций теории нечетких ìíîæåñòâ....................... 188
5.3. Моделирование в условиях стохастической
неопределенности ................................................................................ 205
5.4. Моделирование марковских случайных процессов .................. 228
Вопросы для ñàìîïðîâåðêè...................................................................... 241
Задания для самостоятельного âûïîëíåíèÿ........................................... 243
Глава 6. Линейные и нелинейные ìîäåëè............................................... 245
6.1. О законе Гука и границах линейности ...................................... 246
6.2. Сплошные среды и уравнения математической физики.
Линейные уравнения и принцип суперпозиции .............................. 249
6.3. О построении сплошносредных моделей.
Вывод волнового уравнения ............................................................... 253
6.4. Решение волнового уравнения методом Фурье ........................ 257
6.5. О характеристиках уравнений математической физики.
Решение волнового уравнения методом Даламбера ........................ 262
6.6. Уравнения Максвелла .................................................................. 266
6.7. О классификации квазилинейных систем ................................. 269
6.8. Связь непрерывного и дискретного на примерах
уравнения колебаний струны и уравнения Шредингера ................ 272
6.9. О пользе феноменологии при построении
математических моделей ..................................................................... 277
6.10. Анализ подобия и размерности ................................................. 282
6.11. Àâòîìîäåëüíîñòü.......................................................................... 287
6.12. Самоорганизация и структуры в нелинейных ñðåäàõ............. 291
6.13. О нелинейных волнах в сплошных средах .............................. 296
4
Стр.2
6.14. Иерархические модели турбулентности
и многомасштабные функциональные базисы ................................. 304
6.15. Вейвлеты ...................................................................................... 314
6.16. Вейвлет-анализ временных колебаний ..................................... 324
6.17. О фракталах и их применении .................................................. 332
6.18. Нелинейные модели ÄÍÊ.......................................................... 360
Задания для самостоятельного âûïîëíåíèÿ........................................... 368
Глава 7. Моделирование с использованием
имитационного подхода ............................................................................. 369
7.1. Особенности моделей, использующих имитационный
подход .................................................................................................... 370
7.2. Имитатор системы массового обслуживания ............................ 377
7.3. Клеточные автоматы ..................................................................... 382
7.4. Моделирование дислокаций в металле ...................................... 399
Вопросы для ñàìîïðîâåðêè...................................................................... 414
Задания для самостоятельного âûïîëíåíèÿ........................................... 414
Приложения ......................................................................................................
Приложение 1. Язык формального описания алгоритмов ............. 417
Приложение 2. Численные методы (минимальные ñâåäåíèÿ) ....... 421
Библиографический список ...........................................................................
Предметный указатель ....................................................................................
5
Стр.3