2
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА»
ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ И ТРАНСПОРТА
УДК 510.22(075)
Функции и графики: Учеб. пособие / А.И. Осипов, Н.Н. Осипова. Самар.
гос. аэрокосм. ун-т, Самара, 2005. - 48 с.
ISBN
В учебном пособии по математике изложены методические указания и
контрольные задания по теме «Функции и графики» для студентов очного и
очно-заочного обучения в Институте энергетики и транспорта СГАУ по
специальностям 130200 и 061100, содержится систематизированный
теоретический материал, разобраны характерные примеры, предложены
вопросы и упражнения для самопроверки, снабженные ответами.
Пособие может быть использовано при проведении лекционных,
практических и самостоятельных занятий, а задания, вопросы и упражнения –
для контроля усвоения материала. При самостоятельном обучении
практически не требуются другие пособия, кроме методических указаний
«Числовые множества».
Учебное пособие имеет целью всесторонне подготовить студентов к
А.И.ОСИПОВ, Н.Н.ОСИПОВА
изучению высшей математики, а слушателей курсов – к Единому
государственному экзамену; составлено в полном соответствии с программой
вступительных экзаменов в университет и способствует приобщению
абитуриентов и студентов первого курса к самостоятельной форме учебной
работы, крайне актуальной для высших учебных заведений.
ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
Учебное пособие
Табл. 4. Ил. 26. Библиогр.: 8 назв.
Печатается по решению редакционно-издательского совета Самарского
государственного аэрокосмического университета имени академика С.П.
Королева.
Рецензенты:
заведующий кафедрой уравнений
математической физики
Самарского государственного
университета, профессор, доктор
физико-математических наук
Пулькина Л.С.
ISBN
САМАРА
2005
© Александр Иванович Осипов, Надежда
Николаевна Осипова, 2005
© Самарский государственный
аэрокосмический университет, 2005
доцент Самарского государственного
аэрокосмического университета,
кандидат технических наук
Л. В. Коломиец
Стр.1
3
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………… 4
.
1. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.......................................................... 5
1.1. Функция. Область определения и множество значений функции.
Сложная и элементарная функции........................................................................ 5
1.2. График и способы задания функции............................................................ 7
1.3. Ограниченная, обратная, монотонная, четная, нечетная и периодическая
функции...................................................................................................................10
2. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ............................................12
2.1. Предел функции. Бесконечно большая, малая и ограниченная
функции……………………….…………………………………..……...….........12
2.2. Свойства пределов и их вычисление...........................................................14
2.3. Непрерывная функция и ее свойства. Односторонние пределы и точки
разрыва функции....................................................................................................18
3. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ........................................................................21
3.1. Производная, ее механический и геометрический смысл. Уравнение
касательной и нормали к графику функции........................................................21
3.2. Дифференцирование суммы, произведения и частного функций.
Производная сложной функции............................................................................23
4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ЕЕ ГРАФИКА.......25
4.1. Признаки возрастания и убывания функции. Необходимое и достаточное
условия существования экстремума. Наибольшее и наименьшее значения
функции………….........................................................................….....................25
4.2. Асимптоты графика функции. Полное исследование
функции................………………..…………………………………….…….......28
4.3. Преобразование графика функции........………………..............................32
5. ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ........................39
6. ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ........................44
7. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ...........................................................................46
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ......................................48
В учебном пособии «Функции и графики» рассмотрены следующие
вопросы: элементарные функции одной переменной, аналитический метод
изучения функций с помощью предела, базовые понятия непрерывности и
производной функции. Большое внимание в пособии уделено технике
построения графиков функций с параметрами и их исследованию.
В пособии для иллюстрации материала используются только
алгебраические функции, широко применяемые при моделировании и
аппроксимации в менеджменте, а также представлении функций в виде
степенных рядов. Это позволяет, во-первых, не отвлекаться на изучение
свойств остальных элементарных функций, а, во-вторых, усваивать
изложенные в пособии вопросы еще до знакомства, например, с
показательными и логарифмическими функциями и изучать последние после
усвоения понятий функции и ее графика как таковых.
Учебное пособие «Функции и графики» является естественным
дополнением и промежуточным звеном к методическим указаниям «Введение
в анализ» и «Решение задач по дифференциальному исчислению», активно
используемым в учебном процессе на первом курсе Института энергетики и
транспорта.
Удачным образом работа вписывается и в ряд методических указаний
«Числовые множества» и «Применение производной. Тригонометрические
функции, тождества и уравнения», а содержащиеся в ней контрольные
задания могут быть использованы при организации и проведении очных и
заочных подготовительных курсов для поступления в ИЭТ по специальности
061100, требующей углубленного изучения школьного курса математики.
Материал пособия базируется на программе школьной математики и не
требует привлечения университетских учебников. Это дает возможность
подготовиться к изучению математического анализа самостоятельно еще до
поступления в высшее учебное заведение и более уверенно решать задачи из
последнего раздела единого государственного экзамена.
Материал изложен в соответствии с терминами и определениями
«Математической энциклопедии», соответствует требованиям по подготовке
рукописей РИО СГАУ.
4
ВВЕДЕНИЕ
Стр.2
5
1. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1.1. Функция. Область определения и множество значений функции.
Сложная и элементарная функции
Площадь квадрата Sкв. и прямоугольника Sпр. задаются формулами:
Sкв. = a2, Sпр. = ab,
где: a, b - длины сторон данных фигур.
Из определения 2.6 /1/ многочлен задается выражением:
Pn(x) = aоxn + a1xn-1 + ... + an-1x + an,
где: a0, a1, ..., an - постоянные коэффициенты.
Если во всех этих формулах a, b и x будут переменными величинами, то
каждому значению этих величин будут соответствовать вполне определенные
значения Sкв., Sпр., Pn(x). В этом случае говорят, что Sкв., Sпр., Pn(x) - есть
функции, a, b, x - их аргументы. Причем, Sкв. и Pn(x) - функции одной
переменной, а Sпр.- функция двух переменных.
В данном учебном пособии мы будем рассматривать только функции
любому элементу х из множества X (
единственный элемент y из множества Y (! у
одной переменной. Дадим точное математическое определение функции
одной переменной с помощью символов математической логики и
использованием элементов теории множеств /1/.
Определение 1.1. Пусть заданы два множества X и Y (Рис.1), такие, что
x
Y. При этом множество X называется
R, Y
R).
6
переменной, заданные на множестве действительных чисел R.
Определение 1.2. Действительной функцией называется f: Х
В дальнейшем мы будем рассматривать только числовые функции одной
Y, где Х
и теми же числовыми множествами f: R
(х), X = R, Y = R0 различны, но устанавливают соответствия между одними
R0.
: R
R, то есть xn = f(n), где n
N, xn
R.
f(x) необходимо задать и область определения Х, так как функции, имеющие
разные области определения, при прочих равных условиях являются
различными.
Пример 1.3. Найти область определения функции y =
X = x | 9 − 2
X) поставлен в соответствие
Y), который обозначен через y
= f(x). Тогда говорят, что на множестве X задана функция одной переменной y
= f(x) или в другом обозначении f: X
областью определения функции f, а Y – областью или множеством ее
значений, y называется образом элемента x, а x - прообразом элемента y.
Первое обозначение функции y = f(x) используется в аналитических
преобразованиях математических формул, а второе показывает, что между
множествами X и Y установлено соответствие Х
Х отображается на множество Y.
Y, по которому множество
Р е ш е н и е.
⎪
⎨
⎧
⎩
⎪
/1/).
⎩
⎨
⎧
9 − 2
Решим систему неравенств
2
x − ≠ 0
x ≥ 0
1
⇔ ≤ 9
x
x ≠ 1
⎩
⎨
⎧ ⇔
XF), тогда
x
⎩
⎨
⎧
x
x
≠
≤
1
3
⇔ − 3 ≤ x ≤ 3
x ≠ 1
⎩
⎨
⎧
⇒ = −[ 3;1)∪(1;3 ].
X
область определения функции F (XF) содержит область значений функции f
(Yf
Определение 1.3. Пусть заданы функции y = f(x) и z = F(y), причем
Xf соответствует z, такое, что z = F(y), где y = f(x). Эта
функция, определенная соответствием z = F[f(x)], называется сложной
функцией или композицией функций f и F.
Например, всякая рациональная функция является композицией четырех
арифметических действий, то есть композицией функций F + f, F - f, F f, F/f (f
≠ 0), и может быть представлена в виде отношения: у = Pn(x)/Pm(x), где: Pn и
Pm - многочлены /1/:
Pn(x) = a0xn + a1xn-1 +...+ an-1x + an,
Pm(x) = b0xm + b1xm-1 +...+ bm-1x + bm
0.
Функцию в примере 1.3 можно представить композицией нескольких
функций: w = v/u, u = x - 1, v = z , z = 9 - y, y = x2.
Определение 1.4. Элементарные функции - это класс функций,
Рис. 1
состоящих из многочленов, показательных функций, логарифмических
функций, тригонометрических функций и получающихся из перечисленных
⎩
⎨
⎧
x − ≠ 0
x ≥ 0
1
⎭
⎬
⎫
9
x
−
−
x
1
2
.
(обозначение множества дано по определению 1.1
R (Х и Y являются подмножествами множества действительных чисел
Пример 1.1. Функции y1 = x2 = f(x), X = R, Y = R0 = [0;+ ] и y2 = х4 =
R0 и
Пример 1.2. Числовая последовательность {xn} устанавливает
соответствие между множествами N
Таким образом, по определению 1.1 кроме функциональной зависимости
⊂
→
∞
∈
→
Φ
→
→
∈
⊂
⋅
Φ
≠
∀
⊂
∈
∈
∀
∈
→
→
Стр.3