Математическая теория оптимального управления. Функциональный анализ. Теория операторов

Изложение материала имеет трёхуровневую структуру. Первый, поверхностный, уровень содержит расчётные формулы конкретных методов для нахождения приближённых решений абстрактных уравнений. Второй, более глубокий, уровень позволяет исследовать сходимость приближённых решений к точному. На третьем уровне выясняются условия устойчивости вычислительных схем.

В настоящем учебно-методическом пособии при исследовании свойств псевдодифференциальных операторов используется преобразование Фурье обобщенных функций, рассмотренных ранее в учебно-методическом пособии «Дополнительные главы обобщенных функций».

Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре уравнений в частных производных и теории вероятностей математического факультета Воронежского государственного университета

Данное пособие предназначено для самостоятельного развития навыков дифференцирования функций нескольких переменных у студентов младших курсов естественных факультетов. Как показывает практика, с одной стороны, лишь самостоятельные выкладки могут обеспечить овладение студентом техникой аналитических расчётов, а с другой стороны — вряд ли имеет смысл рассчитывать на самостоятельность выполнения задания, содержащего всего лишь несколько вариантов на студенческую группу. Поэтому возникает потребность в (возможно, домашней) контрольной работе, которая давалась бы каждому студенту группы индивидуально.

Метод Фурье на коммутативных группах давно применяется во многих областях математики, физики и технических наук. В настоящее время растет применение этого метода и для некоммутативных групп: в частности, в области анализа ранжированной информации, при разработке методов помехоустойчивого кодирования, в теории и практике сетей передачи данных, при анализе изображений, в задаче дифракции на телах с некоммутативной группой симметрий. Особый интерес представляет разработка быстрого преобразования Фурье, позволяющего значительно ускорить решение практически важных задач. Но по сравнению с коммутативным случаем построение быстрого преобразования Фурье для некоммутативных групп существенно затрудняется из-за сложного строения дуальных объектов групп, в терминах которых это преобразование конструируется. Разработка эффективных алгоритмов быстрого преобразования Фурье и алгоритмов, оптимизированных под различные компьютерные архитектуры, для некоммутативных групп интенсивно ведется и в настоящее время. В данной статье исследуется метод Фурье решения сверточных уравнений на диэдральных группах Dm. Построено быстрое преобразование Фурье на диэдральных группах на основе редукции к быстрому преобразованию Фурье на циклических группах, получены явные численные формулы для прямого и обратного преобразований. На основе доказанных формул разработан эффективный алгоритм решения сверточных уравнений на диэдральных группах со сложностью O(mlogm), где m – порядок максимальной циклической подгруппы диэдральной группы. Полученные теоретические результаты позволили на основе использования языка программирования C# разработать программную реализацию численного метода решения сверточных уравнений на произвольной группе Dm. В заключение приведены результаты численных экспериментов.

В математике можно выделить два направления: одно изучает непрерывные объекты, другое – дискретные. Часто к изучению одного и того же явления можно подойти с разных точек зрения. Производящие функции, изучению которых посвящено данное учебное пособие, являются примером плодотворной связи между дискретными и непрерывными объектами. Метод производящих функций особенно продуктивен при решении рекуррентных соотношений и комбинаторных задач.

В издании введено понятие простейшей задачи вариационного исчисления. Рассмотрен случай закрепленных концов и случай свободного правого конца. Для обеих задач приведено необходимое условие первого порядка. Для простейшей задачи вариационного исчисления в скалярном случае указано необходимое условие второго порядка. Также для этой же задачи в общем случае приведены достаточные условия.